第四章 等可能条件下的概率（知识清单）数学苏科版九年级上册

第四章 等可能条件下的概率 知识点梳理01：等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【微点拨】 1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试验的结果具有等可能性。 2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？（①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等 知识点梳理02：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点梳理03：求概率的方法 （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 易错点1 ：等可能性（核心概念回顾与易混淆点） 概念： 一个随机试验的所有可能结果出现的可能性相同。这是本章所有计算的基础假设。 错误： 忽视前提条件： 不是所有随机试验的结果都是等可能的！例如：掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一般不相等；比较两个人的身高，谁更高的可能性也不一定相等。关键是要能判断所给问题是否满足等可能性条件。 主观臆断： 凭感觉认为某种结果更容易出现或更不容易出现，而忽视题目中明确给出的等可能性信息。 【典例精讲1】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 易错点2：概率公式（核心概念回顾与易混淆点） 概念： 事件 A 发生的概率 P(A) = 事件 A 包含的样本点数 (k) / 样本空间中总的样本点数 (n)。 错误： n 和 k 不对应： 分子中的样本点数 k 必须是分母中样本空间 n 的一部分。常见的错误是在涉及步骤或多要素时（如放回抽样和不放回抽样），分子和分母使用了不同的样本空间或计数标准。 误用排列组合： 该公式的应用前提是所有样本点是等可能且能被清晰列举或计数。如果样本空间本身不等可能或者计数困难，直接套用公式会出错。 忽视最简形式： 计算结果没有化简到最简分数形式。题目要求时没有按要求转换为小数或百分比（保留位数也可能出错）。 【典例精讲2】（24-25九年级上·广东珠海·期末）（1）解方程：． （2）填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A区域还是B区域？ 解：∵再继续踩在A区域踩到地雷的概率为 ，而踩在B区域踩到地雷的概率为 ， ∴第二步应该踩在B区域． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 易错点3：树状图与列表法（计算方法的易错点） 概念： 用于系统列举样本空间或事件结果的工具。 错误： 选择不当： 对于涉及顺序的事件（如先后抽取、按顺序掷骰子），尤其是不放回的情况，树状图更清晰。 对于两个因素同时发生且因素结果有限的事件（如同时掷两个骰子，但需注意顺序与否），列表法可能更方便。 错误选择导致列举混乱或遗漏。 层次不清晰： 使用树状图时，第一层、第二层代表的含义不明确，导致后续计数错误。 标注不清： 在树状图的“树枝”上没有清晰标注每一步发生的事件（如抽取球的颜色），仅凭“路径”计算，容易在复杂图中混淆。 路径计数错误： 从树状图根到末端节点的每条路径代表一个样本点，只有“叶子节点”才被计数。可能错误地把树枝上的中间点也算作结果点。 “等可能枝”的理解： 树状图的一个前提是每个分支的发生是等可能的（如掷骰子每个点数概率1/6）。但在实际画图时，有时为了简化会合并路径（如硬币的“正面”和“反面”各画一个分支），此时必须确保每个分支代表的事件发生的概率总和是相等的？。不对！关键点是：每个“等可能结果”在其所在的层级有单独的分支路径。在骰子问题中，每个点数（1到6）都应该有一条从起点出发的路径，每条路径的概率在假设等可能时是相等的（都为1/6）。合并路径（如点数1-3合并为一组）会掩盖内部的等可能性差异，此时该分支的概率不等于1/6，而是1/2（假设3个点数和另3个点数各自等可能）。除非题目明确分组且各组等可能，否则一般不合并样本点路径。树状图的核心优势是清晰展现所有等可能的样本路径。 【典例精讲3】（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： (1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． (2)补全条形统计图； (3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 易错点4：分步概率的乘法规则(树状图优势)计算方法的易错点 概念： 事件A 并且 事件B发生的概率：P(A且B) = P(A) × P(B | A) 。其中 P(B | A) 是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。 错误： 混淆“放回”与“不放回”： 放回抽样： 第一次抽取结果不影响第二次抽取的样本空间和概率。即 P(B | A) = P(B)。 不放回抽样： 第一次抽取结果改变了第二次抽取的样本空间（减少了一个样本），概率也改变。必须重新计算条件概率 P(B | A)。这是最常犯的错误！常表现为计算第二次概率时忘记剩余总数少了一个。 顺序混淆： 对于涉及时间先后或步骤顺序的问题（如抽签问题、比赛先后），在树状图或计算时要明确顺序步骤。 【典例精讲4】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设3个教学班，班号依次为1、2、3，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． (1)小刚被抽到4班是________事件（填“必然”“随机”“不可能”）． (2)求小刚和正老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 易错点5：几何概型（典型应用场景的易错点） 概念： 当样本点无限多，且区域具有某种均匀性（如长度、面积、体积）时，可用几何区域的测度（长度、面积、体积）之比计算概率。即：P(A) = A的测度 / 总测度。 错误： 选择错误测度： 混淆长度、面积、体积。例如，在一条数轴上等可能投点算区间概率，应该用长度比；在平面区域（如转盘）内投点，应该用面积比；在空间中投点，应该用体积比。 计算测度错误： 对所求事件区域和目标区域的测度（长度、面积）计算不准确（几何基本计算能力不足）。 忽略关键因素： 例如，在圆面投点落在某个扇形内，概率等于扇形圆心角/360° (或者扇形面积/圆面积)，而不能错误地认为等于扇形弧长/圆周长（这是周长比，用于在圆周上投点）！必须搞清楚投点是落在面上还是线上（边界上）。 【典例精讲5】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是．转动两个转盘各一次进行“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动．    (1)A盘转出红色的概率为___________，B盘转出红色的概率为___________； (2)小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为．判断小颖的想法是否正确．若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答． 【变式训练5】（2025·陕西西安·三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 易错点6：游戏公平性判断（典型应用场景的易错点） 概念： 通过比较游戏双方（或多方）获胜的概率是否相等来判断规则是否公平。 错误： 未计算概率： 凭主观感觉判断是否公平，而不是严格计算各自获胜概率。 概率计算错误： 由于前述各种原因（如样本空间错误、方法使用不当），导致算出的概率本身错误，进而影响公平性判断。 结论不明或错误： 计算出了概率，但比较结果后不明确写出“公平”或“不公平”的结论，或者比较错误（如 P(A) = 1/3 和 P(B)=1/4 时误判为公平）。比较的必须是获胜概率。 【典例精讲6】（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【变式训练6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀． (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________． (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明． 易错点7：组合事件（典型应用场景的易错点） 概念： “或”事件（至少一个发生）和“且”事件（同时发生）。 错误： 未处理重叠（互斥性）： 计算“或”事件的概率 (P(A或B)) 时，如果A和B可能同时发生（不互斥），则不能直接用 P(A) + P(B)，而需要用 P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。最常见的是在掷两个骰子时求“点数之和为6”或“点数之和为7”的概率，这两个事件互斥，可以直接加；但求“至少有一个6点”或“点数之和不小于5”等事件时，内部事件可能不互斥。 “且”事件的错误计算： 对独立事件和不独立事件（如不放回抽样）不加区分，一律用 P(A且B) = P(A) * P(B)。 【典例精讲7】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式训练7】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）将分别标有“我”“爱”“贵”“州”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成词语“贵州”的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）从−4，−1，2，3四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于x的方程有两个不相等的实数根的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）为了认真学习贯彻党的二十精神，葉校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下： 得分 人数（人） 据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为 ． 8．（24-25九年级上·河南开封·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 9．（24-25九年级上·四川资阳·期末）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ． 10．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为e的概率是 ． 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ． 13．（2025·安徽合肥·一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是 ． 14．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同．将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球上所标的汉字，记为一次试验． (1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是__________； (2)若小尹从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 16．（24-25九年级上·福建福州·期末）在一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的乒乓球4个（除颜色外其他均相同），其中红球2个，白球，黑球各1个． (1)从盒子中随机摸一个，事件“摸到红球”的概率是 ． (2)若摸到白球得1分，摸到红球得2分，摸到黑球得3分，小亮随机从中摸一球，记下分值后再放回，摇匀后，再摸一球，请用列表法或画树状图法说明小亮至少得4分概率． 17．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)据图中信息求出___________，___________； (2)补全条形统计图： (3)已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为___________． (2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率． 21．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 22．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 23．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 等可能条件下的概率 知识点梳理01：等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 【微点拨】 1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试验的结果具有等可能性。 2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？（①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等 知识点梳理02：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点梳理03：求概率的方法 （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 易错点1 ：等可能性（核心概念回顾与易混淆点） 概念： 一个随机试验的所有可能结果出现的可能性相同。这是本章所有计算的基础假设。 错误： 忽视前提条件： 不是所有随机试验的结果都是等可能的！例如：掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一般不相等；比较两个人的身高，谁更高的可能性也不一定相等。关键是要能判断所给问题是否满足等可能性条件。 主观臆断： 凭感觉认为某种结果更容易出现或更不容易出现，而忽视题目中明确给出的等可能性信息。 【典例精讲1】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 【易错点拨】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【规范解答】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 易错点2：概率公式（核心概念回顾与易混淆点） 概念： 事件 A 发生的概率 P(A) = 事件 A 包含的样本点数 (k) / 样本空间中总的样本点数 (n)。 错误： n 和 k 不对应： 分子中的样本点数 k 必须是分母中样本空间 n 的一部分。常见的错误是在涉及步骤或多要素时（如放回抽样和不放回抽样），分子和分母使用了不同的样本空间或计数标准。 误用排列组合： 该公式的应用前提是所有样本点是等可能且能被清晰列举或计数。如果样本空间本身不等可能或者计数困难，直接套用公式会出错。 忽视最简形式： 计算结果没有化简到最简分数形式。题目要求时没有按要求转换为小数或百分比（保留位数也可能出错）。 【典例精讲2】（24-25九年级上·广东珠海·期末）（1）解方程：． （2）填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A区域还是B区域？ 解：∵再继续踩在A区域踩到地雷的概率为 ，而踩在B区域踩到地雷的概率为 ， ∴第二步应该踩在B区域． 【易错点拨】本题主要考查了几何概率，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案， 【规范解答】解：（1）， ， ， ∴， （2）∵在一个有个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗． ∴再继续踩在A区域踩到地雷的概率为，而踩在B区域踩到地雷的概率为， ∴第二步应该踩在B区域． 故答案为：；0． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点拨】本题主要考查概率的计算．从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果，利用概率公式计算可得．解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【规范解答】解：口袋中有红球个数为：， ∴从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为：． 故选：C． 易错点3：树状图与列表法（计算方法的易错点） 概念： 用于系统列举样本空间或事件结果的工具。 错误： 选择不当： 对于涉及顺序的事件（如先后抽取、按顺序掷骰子），尤其是不放回的情况，树状图更清晰。 对于两个因素同时发生且因素结果有限的事件（如同时掷两个骰子，但需注意顺序与否），列表法可能更方便。 错误选择导致列举混乱或遗漏。 层次不清晰： 使用树状图时，第一层、第二层代表的含义不明确，导致后续计数错误。 标注不清： 在树状图的“树枝”上没有清晰标注每一步发生的事件（如抽取球的颜色），仅凭“路径”计算，容易在复杂图中混淆。 路径计数错误： 从树状图根到末端节点的每条路径代表一个样本点，只有“叶子节点”才被计数。可能错误地把树枝上的中间点也算作结果点。 “等可能枝”的理解： 树状图的一个前提是每个分支的发生是等可能的（如掷骰子每个点数概率1/6）。但在实际画图时，有时为了简化会合并路径（如硬币的“正面”和“反面”各画一个分支），此时必须确保每个分支代表的事件发生的概率总和是相等的？。不对！关键点是：每个“等可能结果”在其所在的层级有单独的分支路径。在骰子问题中，每个点数（1到6）都应该有一条从起点出发的路径，每条路径的概率在假设等可能时是相等的（都为1/6）。合并路径（如点数1-3合并为一组）会掩盖内部的等可能性差异，此时该分支的概率不等于1/6，而是1/2（假设3个点数和另3个点数各自等可能）。除非题目明确分组且各组等可能，否则一般不合并样本点路径。树状图的核心优势是清晰展现所有等可能的样本路径。 【典例精讲3】（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： (1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． (2)补全条形统计图； (3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 【易错点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，以及树状图法求概率，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据B等级条形统计图和扇形统计图的数据即可求解，根据C等级所占比例即可求解：然后根据“D等级”的人数所占的百分比即可求出m； （2）计算出A等级的人数即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【规范解答】（1）解：参加体能测试的学生共有：（名）； 表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为：； ∴； 故答案为：；，； （2）解：等级的人数为：（人） 补全条形统计图如下： （3）解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种， ∴恰好是一男一女的概率是：． 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【易错点拨】（1）先用旅游地点B的人数除以百分比得到总人数，再利用旅游地点D的百分比即可得到其圆心角度数； （2）求出旅游地点C的人数，补全条形统计图即可； （3）画出树状图得到所有的等可能性的结果，然后找到选中的两人中一定有甲的结果数，最后利用概率公式求解即可得到答案． 此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是关键． 【规范解答】（1）解：（名），即这次调查一共抽取了名员工； 即旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：50， （2）解：选择旅游地点C的员工数为（名） 补全条形统计图如图①所示． （3）画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中选中的两人中一定有甲的结果有6种，所以选中的两人中一定有甲的概率为． 易错点4：分步概率的乘法规则(树状图优势)计算方法的易错点 概念： 事件A 并且 事件B发生的概率：P(A且B) = P(A) × P(B | A) 。其中 P(B | A) 是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。 错误： 混淆“放回”与“不放回”： 放回抽样： 第一次抽取结果不影响第二次抽取的样本空间和概率。即 P(B | A) = P(B)。 不放回抽样： 第一次抽取结果改变了第二次抽取的样本空间（减少了一个样本），概率也改变。必须重新计算条件概率 P(B | A)。这是最常犯的错误！常表现为计算第二次概率时忘记剩余总数少了一个。 顺序混淆： 对于涉及时间先后或步骤顺序的问题（如抽签问题、比赛先后），在树状图或计算时要明确顺序步骤。 【典例精讲4】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设3个教学班，班号依次为1、2、3，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． (1)小刚被抽到4班是________事件（填“必然”“随机”“不可能”）． (2)求小刚和正老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 【易错点拨】本题考查事件的分类、画树状图或列表法求概率，理解题意是解答的关键． （1）根据事件的分类判断即可； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：七年级共设3个教学班，班号依次为1、2、3，没有4班， ∴小刚被抽到4班是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：画树状图如下图： 共有9种等可能的结果，其中，小刚和正老师分到同一个班的有3种， ∴小刚和正老师分到同一个班的概率为． 【变式训练4】（23-24九年级上·广东梅州·期末）三张大小相同的硬纸片上分别写有一个代数式，分别为 现将这三张纸片背面向上，打乱顺序后在背面标上①、②、③，摆成如图所示的式子，请你用列表法或画树状图的方法求出能使运算结果为常数的概率． 【答案】 【易错点拨】本题主要考查了列表法或树状图求概率， 先列表得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式可得答案. 【规范解答】解：画树状图如下： ，不是常数， ，是常数， ，不是常数， 同理可知，是常数， ，不是常数， ，不是常数， ∵共有6种等可能的结果，其中计算结果为常数的有2种情况， ∴能使运算结果为常数的概率为． 易错点5：几何概型（典型应用场景的易错点） 概念： 当样本点无限多，且区域具有某种均匀性（如长度、面积、体积）时，可用几何区域的测度（长度、面积、体积）之比计算概率。即：P(A) = A的测度 / 总测度。 错误： 选择错误测度： 混淆长度、面积、体积。例如，在一条数轴上等可能投点算区间概率，应该用长度比；在平面区域（如转盘）内投点，应该用面积比；在空间中投点，应该用体积比。 计算测度错误： 对所求事件区域和目标区域的测度（长度、面积）计算不准确（几何基本计算能力不足）。 忽略关键因素： 例如，在圆面投点落在某个扇形内，概率等于扇形圆心角/360° (或者扇形面积/圆面积)，而不能错误地认为等于扇形弧长/圆周长（这是周长比，用于在圆周上投点）！必须搞清楚投点是落在面上还是线上（边界上）。 【典例精讲5】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是．转动两个转盘各一次进行“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动．    (1)A盘转出红色的概率为___________，B盘转出红色的概率为___________； (2)小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为．判断小颖的想法是否正确．若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答． 【易错点拨】此题考查了概率公式和列表法求概率． （1）根据相应区域的圆心角度数即可求出答案； （2）先把转盘A蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘B红色区域等分成2份，分别记为“红1”“红2”，列表求出所有可能情况数，符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【规范解答】（1）解：A盘转出红色的概率为， B盘转出红色的概率为， 故答案为：，； （2）小颖的想法是错误的． 理由如下：先把转盘A蓝色区域等分成2份，分别记为“蓝1”“蓝2”；转盘B红色区域等分成2份，分别记为“红1”“红2”，然后列表如下： B盘 A盘 红1 红2 蓝 红 （红，红1） （红，红2） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝，蓝） 蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝） 共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 转动两个转盘，能够配成紫色的结果有5种：（蓝1，红1）（蓝2，红1）（蓝1，红2）（蓝2，红2）（红，蓝）， 所以，P（能配成紫色）． 所以，小颖的想法是错误的 【变式训练5】（2025·陕西西安·三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接用红色区域的面积除以整个圆的面积即可得到答案； （2）通过画树状图或列表的方法，列出所有可能情况，再找到两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵转盘A中，红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为， ∴转动转盘，转到红色区域的概率为； （2）解：把转盘A的蓝色区域等分成3份，分别记作“蓝1”“蓝2”“蓝3”． 根据题意，列表如下： B盘A盘 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红） （蓝1，黄） （蓝1，蓝） 蓝2 （蓝2，红） （蓝2，黄） （蓝2，蓝） 蓝3 （蓝3，红） （蓝3，黄） （蓝3，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果有4种， 游戏者获胜的概率为． 易错点6：游戏公平性判断（典型应用场景的易错点） 概念： 通过比较游戏双方（或多方）获胜的概率是否相等来判断规则是否公平。 错误： 未计算概率： 凭主观感觉判断是否公平，而不是严格计算各自获胜概率。 概率计算错误： 由于前述各种原因（如样本空间错误、方法使用不当），导致算出的概率本身错误，进而影响公平性判断。 结论不明或错误： 计算出了概率，但比较结果后不明确写出“公平”或“不公平”的结论，或者比较错误（如 P(A) = 1/3 和 P(B)=1/4 时误判为公平）。比较的必须是获胜概率。 【典例精讲6】（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【易错点拨】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【规范解答】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 【变式训练6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀． (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________． (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明． 【答案】(1)必然；不可能 (2) (3)不公平，理由见解析 【易错点拨】本题考查了事件类型的判断、概率的计算、游戏的公平性的判断，熟知列举法求概率是解题的关键． （1）根据事件类型的概念即可判别：在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件；在一定条件下，必然不会发生的事件是不可能事件． （2）利用概率的公式：符合条件的结果数除以总结果数即可求． （3）列表，分别求出“两球能配成紫色”和“两球不能配成紫色”的概率，然后进行比较即可判断游戏是否公平． 【规范解答】解：（1）∵袋子中放有个红球，个蓝球， ∴当从袋子中随机摸出个球时，抽取的结果不是红球，就是蓝球． ∴事件“从中任意摸出个球，不是红球就是蓝球”是必然事件； ∵袋子中没有黑球， ∴事件“从中任意摸出个球是黑球”是不可能事件． 故答案为：必然；不可能     （2）从中任意摸出个球，共有种等可能的结果，其中是红球的有种结果， ∴（红球）=． 故答案为： （3）设个红球分别记为红、红、红；个蓝球分别即为蓝、蓝． 根据题意，列表如下： 红 红 红 蓝 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有种等可能的结果，其中“配紫色”不成功的结果有种，“配紫色”成功的结果有种， ， ， 这个游戏不公平． 易错点7：组合事件（典型应用场景的易错点） 概念： “或”事件（至少一个发生）和“且”事件（同时发生）。 错误： 未处理重叠（互斥性）： 计算“或”事件的概率 (P(A或B)) 时，如果A和B可能同时发生（不互斥），则不能直接用 P(A) + P(B)，而需要用 P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。最常见的是在掷两个骰子时求“点数之和为6”或“点数之和为7”的概率，这两个事件互斥，可以直接加；但求“至少有一个6点”或“点数之和不小于5”等事件时，内部事件可能不互斥。 “且”事件的错误计算： 对独立事件和不独立事件（如不放回抽样）不加区分，一律用 P(A且B) = P(A) * P(B)。 【典例精讲7】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【易错点拨】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【规范解答】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【变式训练7】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【规范解答】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】解：设“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， ∴两人选择同一门课程的概率为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法，能够根据题意画树状图是解题的关键．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：． 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）将分别标有“我”“爱”“贵”“州”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成词语“贵州”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的结果数，然后根据概率公式求解． 【规范解答】解：画树状图： 共有种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的结果数为2， 所以两次摸出的球上的汉字组成“贵州”的概率． 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错点拨】本题考查列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握列表法或树状图法得出所有的等可能的结果数是解题的关键．画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有2种， ∴恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）从−4，−1，2，3四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于x的方程有两个不相等的实数根的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【易错点拨】本题考查树状图法求概率，根的判别式，先画出树状图，求出的值的个数，再求出方程有两个不等的实数根的情况，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，画出树状图如下： 共有12种等可能的结果，当时，关于x的方程有两个不等的实数根， ∴符合题意的情况有8种， ∴； 故选：D． 6．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键． 【规范解答】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表： 石头 剪刀 布 石头 0 2 5 剪刀 2 4 7 布 5 7 10 则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种， 小李获胜的概率为． 故选：B． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）为了认真学习贯彻党的二十精神，葉校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下： 得分 人数（人） 据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为 ． 【答案】/ 【易错点拨】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式求概率是解题的关键．根据概率公式直接计算即可求解． 【规范解答】解：得分低于分的为人，总人数为100人， ∴不低于分的有人， ∴随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河南开封·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】45 【易错点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果． 【规范解答】解：由题意，摸到黑球的概率为． 设袋子中红球有x个， 根据题意，得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为45个， 故答案为：45． 9．（24-25九年级上·四川资阳·期末）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ． 【答案】 【易错点拨】本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质、概率公式是解题的关键． 根据题意画出树状图，再根据树状图求出概率即可． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一支付方式的有3种， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为e的概率是 ． 【答案】 【易错点拨】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．直接由概率公式求解即可． 【规范解答】解：∵在英语单词中任意选出一个字母，共有 7 种等可能的结果，其中选出的字母为e的结果有2种， ∴选出的字母为e的概率是， 故答案为：． 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是 ． 【答案】 【易错点拨】本题考查运用画树状图或图表法的概率的计算，解题关键是运用树状图法或图表法准确列举出所有座位安排情况，进而确定甲、乙相邻的情况数，再利用概率公式求解．       设出四个凳子编号，用树状图列出甲、乙、丙三人所有可能的座位安排情况，依据相邻位置组合，从所有情况中找出甲、乙相邻的情况， 根据概率公式，计算出甲、乙相邻的概率． 【规范解答】设四个凳子依次为1号、2号、3号、4号．用甲，乙，丙，和空表示三人的座位安排情况． 共有24种不同做法，其中两人坐在相邻的位置为在1和2或2和3或3和4或4和1的共有16种， ∴甲、乙两人坐在相邻位置的概率为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ． 【答案】 【易错点拨】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：从袋子中随机摸出1个小球，共有种等可能的情况，其中是红球的有种情况， 故． 故答案为：． 13．（2025·安徽合肥·一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是 ． 【答案】 【易错点拨】本题考查了利用概率公式求概率．设白色和黑色分别为和，得到所有可能的结果数和颜色不同的结果数，再利用概率公式即可求解． 【规范解答】解：设白色和黑色分别为和， 则共有，，，，，，，，共种等可能的结果数，其中相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的结果数有，，共种， 所求概率是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同．将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球上所标的汉字，记为一次试验． (1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是__________； (2)若小尹从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率． 【答案】(1) (2)摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率为 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）列表展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数，然后根据概率公式求解． 【规范解答】（1）解：从中摸出一个球，球上的汉字恰好是“爱”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 我 爱 中 国 我 （我，爱） （我，中） （我，国） 爱 （我，爱） （爱，中） （爱，国） 中 （我，中） （爱，中） （中，国） 国 （我，国） （爱，国） （中，国） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果有2种， 摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率为． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 【答案】(1)； (2)． 【易错点拨】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：小明随机从4个空位选择一个空座位坐下，选择1号空座位的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小明 小军 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中小明和小军坐在不相邻位置的结果有种， ∴两人坐在不相邻位置的概率为． 16．（24-25九年级上·福建福州·期末）在一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的乒乓球4个（除颜色外其他均相同），其中红球2个，白球，黑球各1个． (1)从盒子中随机摸一个，事件“摸到红球”的概率是 ． (2)若摸到白球得1分，摸到红球得2分，摸到黑球得3分，小亮随机从中摸一球，记下分值后再放回，摇匀后，再摸一球，请用列表法或画树状图法说明小亮至少得4分概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式，即某事件发生的概率等于该事件所包含的基本事件数除以总的基本事件数，计算摸到红球的概率． （2）通过列表法列出两次摸球所有可能的结果，再找出至少得4分的结果数，最后根据概率公式计算其概率． 【规范解答】（1）解：∵ 盒子里一共有个乒乓球，其中红球有个 ∴ 摸到红球的概率 （2）解：列表如下： 第一次摸球第二次摸球 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 1（白球） 2（红球） 2（红球） 3（黑球） 总共有种等可能的结果，其中至少得分的结果有种 ∴ 小亮至少得分的概率 17．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 【答案】(1)； (2)． 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法求概率，简单的概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）利用简单的概率公式求解即可； （2）画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种，即可求解． 【规范解答】（1）解：四张卡片中两张属于化学变化， ∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的有A和D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)据图中信息求出___________，___________； (2)补全条形统计图： (3)已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【答案】(1)100，35 (2)见解析 (3) 【易错点拨】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数即可补全图形； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得． 【规范解答】（1）解：∵被调查的总人数人， ∴支付宝的人数所占百分比，即， 故答案为：100，35； （2）网购人数为人， 补全图形如下： （3）根据题意画树状图如下： 共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查了树状图法求概率、根的判别式等知识，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别式以及概率公式是解答本题的关键． （1）先求出一元二次方程有实数根时，a的取值范围，再根据概率公式求解即可． （2）画树状图可得出所有可能出现的结果，再通过树状图得出点落在第二象限内的结果，利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：若一元二次方程有实数根， 则， ∴， ∵数字，，，中，小于等于的有，， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为； （2）画树状图如下：      共有12种等可能的结果：，，，，，，，，，，，， 其中落在第二象限内的有：，，共2种结果， ∴点落在第二象限内的概率为． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为___________． (2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及通过列表法或树状图法列举所有可能结果是解题的关键． （1）根据概率公式，用小艺同学的数量除以总人数即可得到抽到小艺同学的概率． （2）通过列表法列出所有可能的抽取结果，再找出两名同学均来自相同班级的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【规范解答】（1）解：∵总共有名同学，小艺同学是其中名 ∴随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 故答案为：． （2）解：所有可能如下： 小贤 小晴 小艺 小志 小贤 （小晴，小贤） （小艺，小贤） （小志，小贤） 小晴 （小贤，小晴） （小艺，小晴） （小志，小晴） 小艺 （小贤，小艺） （小晴，小艺） （小志，小艺） 小志 （小贤，小志） （小晴，小志） （小艺，小志） 由表可得所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，符合要求的结果共有4种， ∴P（两位同学来自相同班级）． 21．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种，用概率公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵有四个礼品盒， ∴妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种， 剩下的是A，D两款摆件的概率是． 22．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 【答案】(1) (2)①15元；②公司应将前台工作人员裁员1人，理由见解析 【易错点拨】本题考查了频率估计概率，概率公式，求一组数据的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出样本中包裹件数在之间的天数，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）①运用求平均数的公式进行列式计算，即可作答． ②先求出每个范围的频率，再结合该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用，进行列式，求出裁员和不裁员的收入，即可作答． 【规范解答】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率； （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人． 23．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 【答案】(1)9 (2)不公平，理由见解析 【易错点拨】本题考查了列表法与树状图法，概率的计算，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用列表法列出所有可能的情况，即可得到答案； （2）先根据分式的性质得出分式有意义的条件，再结合可能情况分别计算使分式有意义和无意义的概率，再比较即可判断出是否公平． 【规范解答】（1）解：列表如下 1 1 则所有可能出现的结果有9种 故答案为：9． （2）解：不公平，理由如下： 要使有意义，即 即，，，使分式有意义，则小强获胜概率为； 要使无意义，即 即，，，，使分式无意义，则小兵获胜概率为； 这个游戏规则不公平． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$