2.3.1两条直线的交点坐标-2025-2026学年高二上学期人教A版

2.3.1 两条直线的交点坐标 第二章 直线和圆的方程 1 教学目标 进一步巩固两条直线的位置关系 01 掌握两条直线相交位置关系的判定，会求其交点坐标（重点） 02 直线系方程的关系（难点） 03 体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想 04 2 学科素养 数学抽象 两条直线的位置关系 直观想象 两条直线相交位置关系的判定 逻辑推理 求两条直线的交点坐标 数学运算 数据分析 数学建模 3 复习回顾 引入平面直角坐标系后，我们用坐标（数对）表示点，用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式． 点P 直线 l 点P在直线l上 (A的坐标满足l的方程) 直线l1与l2交于点P ？ 点P到直线l的距离 平行直线l1与l2间的距离 用代数方法进行定量研究 ？ ？ O y x P 设这两条直线的交点为P, 则点P既在直线l1上, 也在直线l2上, 所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0, 也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0, 即点P的坐标是方程组 的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 思考.已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0相交, 它们的交点坐标与直线l1, l2的方程有什么关系? 你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗? 1. 两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交，方程组的解就是交点的坐标. 两条直线的交点坐标 二元一次方程组的解 （1）联立 （2）求解 （3）得交点 例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： l1: 3x＋4y─2＝0， l2: 2x＋y＋2＝0. M l1 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 l2 1. 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： 解: x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 -4 4 3 5 6 3 4 M l1 l2 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 5 6 4 3 -3 -4 3 4 M l1 l2 例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标. (1) l1: x－y=0， l2: 3x＋3y－10＝0； (2) l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0； (3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0. 归纳小结 判断两条直线位置关系代数方法： 解由直线l1与l2的方程组成的方程组 (1)若方程组有且只有一个解, (2)若方程组无解, (3)若方程组有无数解, 则l1// l2; 则l1与l2相交; 则l1与l2重合. 还有其他方法吗？ 思考.你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？ (1) l1: x－y=0， l2: 3x＋3y－10＝0 因为 l1与 l2的斜率不相等，所以 l1与 l2相交 (2) l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0 因为l1与l2的斜率相等，但l1与l2在y 轴上的截距不相等，所以l1//l2 (3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0 因为 l1与 l2的斜率相等，且 l1与 l2在y 轴上的截距也相等，即第一个方程和第二个方程表示同一条直线，所以 l1与 l2重合. 用斜率快速判断两条直线平行或不相交(或垂直) 但无法直接得出相交时两条直线的交点坐标. 斜率判断和通过解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究两条直线的位置关系。 但千万不要忘了还有作图！ 2. 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,则求出交点. 巩固训练1.若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为(　　) A．－24　 B．6 C．±6 D．24 √ 巩固训练2.若直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－1，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) √ =0时,方程为3x+4y-2=0 x y =1时,方程为5x+5y=0 =－1时,方程为x+3y-4=0 O 上式整理为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0 几何意义: 此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0 交点的直线集合(直线束). 注：此直线系方程少一条直线l2 课本P79-16 探究点 过定点的直线问题 例2.求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程． 因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3. 解2：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. 例2.求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程． 探究点 过定点的直线问题 解：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. 变式 求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程． 求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程． ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 如过两条已知直线，交点的直线系方程为 (不包括直线. 方法总结： 巩固训练.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为____________． 3x＋19y＝0 3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点, 求直线l的方程. 解1: 解2: 3.直线恒过定点问题 【例题】求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一定点. 方法总结 含有参数的直线恒过定点问题的解法 ①直接法：将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． ②特殊值法：取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． ③方程法：将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点． 含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0， 其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 1. 两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交，方程组的解就是交点的坐标. 小结： 2.直线系： 共点直线系方程： 经过两直线l1: A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参变量，它不表示直线 l2 . 作业： 完成课本P79页习题2.3第1,2,9题 由题意可得＝，解得k＝±6. 解：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝， 在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝， 解:联立两直线方程解得交点坐标为， 由题意，可得所以解得－1<a<2. 解1：由方程组解得 所以根据点斜式有y－＝－3， 即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0. ∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝. ∴直线l的方程为x＋y＋2×－3＝0. 化简得15x＋5y＋16＝0. 因为l与直线3x＋y－1＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋(λ－3)＝0，解得λ＝－. 所以直线l的方程为x＋y＋2×－3＝0， 即5x－15y－18＝0. 解：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0， 代入原点坐标，求得λ＝－， 故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 证2：直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.)) 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)． 证1：取m=0可得x＋y－5＝0 ①，取m=1可得y＝－4 ②. 联立①②解得x＝9，y＝－4. 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9, －4)． $$