25.2 用列举法求概率 课时2 课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

25.2 用列举法求概率 课时2 画树状图法求概率 1 1. 会用画树状图的方法计算简单随机事件发生的概率. 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径， 它获得食物的概率是多少? 主干 支干1 小分支1 2 3 2 3 4 5 6 7 主干 支干2 支干1 支干3 小分支 1 小分支 2 小分支 3 小分支 4 小分支 5 小分支 6 小分支 7 √ √ 建立数学模型 知识点1：用画树状图法求概率 类比上题的方法求解下列问题. 问题：同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两者都正面向上的概率是多少？ 开始 正 反 第 2 枚 第 1 枚 正 反 正 反 结果 (反，反) (正，正) (正，反) (反，正) 合作探究 一个试验 第一个因素 第二个因素 如一个试验中涉及 2 个因素，第一个因素中有 2 种可能情况；第二个因素中有 3 种可能的情况. A B 1 2 3 1 2 3 则其树状图如下图： n = 2×3 = 6 树状图法：按事件发生的次序，列出其可能出现的结果. 树状图的画法 合作探究 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 例1 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小球，分别写有字母 H 和 I. 从三个口袋中各随机取出 1 个小球． (1) 取出的 3 个小球上恰好有 1 个，2 个，3 个有元音 字母的概率分别是多少？ (2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ I H D E C A B 乙 分析：这次试验是从甲→乙→丙三个口袋中依次取出. 甲 丙 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 结果 本题中，A，E， I 是元音字母；B C，D，H 是辅音 字母. (1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音字母的概率各是多少？ 解：由树状图知所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等. 满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则P (1个元音) = B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 结果 √ √ √ √ √ 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 满足三个全部为元音字母的结果有 1 个， 满足只有两个元音字母的结果有 4 个， 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I √ √ √ √ √ (2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I √ √ 问题1 试验能够用树状图列举结果的前提条件是什么？ (1) 每一次试验中，可能出现的结果只有_______； (2) 每一次试验中，各种结果出现的可能性______. 有限个 相等 问题2 用树状图列举结果的优点是什么？ ① 列举的结果一目了然，不重不漏； ② 特别适合 3 个或 3 个以上步骤的试验. 想一想 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 画树状图求概率的基本步骤： ① 明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . 归纳总结 知识点2：树状图法与列表法的灵活运用 类型一：放回型 例2 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人进行摸球游戏：甲先从盒中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再由乙从盒中随机摸出一球. (1) 试用树状图 ( 或列表法 ) 表示两次摸球游戏所有可能的结果； (2) 如果规定：若能配成紫色 (红色和蓝色配成紫色) 为甲胜，否则为乙胜，这个游戏公平吗? 请说明理由. 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 (1) 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”， 然后画树状图如下： 红1 蓝 乙 甲 红2 蓝 红2 红1 开始 红2 蓝 红1 红2 蓝 红1 (2) 解：不公平. ∵由树状图可知共有 9 种等可能的结果， ∴能配成紫色的有 4 种结果，则 ∴这个游戏不公平. 类型二：不放回型 例3 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 个红球和 2 个黑球，两人先后从袋中取出一个球(不放回) ，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜； (1) 请用树状图或列表法求出摸球游戏所有可能的结果； (2) 你觉得本游戏规则是否公平，请说明理由. 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 (1) 解：先将三个红球分别记为“红1”“红2”“红3” “黑1”“黑2”，然后画树状图如下： 红1 红3 小军 小明 红2 开始 黑1 黑2 红2 红3 黑1 黑2 红1 红3 黑1 黑2 红1 红2 黑1 黑2 红2 红3 红1 黑2 红2 红3 红1 黑1 红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 红2红1 红3红1 黑1红1 黑2红1 红2 红1红2 红3红2 黑1红2 黑2红2 红3 红1红3 红2红3 黑1红3 黑2红3 黑1 红1黑1 红2黑1 红3黑1 黑2黑1 黑2 红1黑2 红2黑2 红3黑2 黑1黑2 方法二：列表如下 小军 小明 结 果 比较一下，用树状图法还是列表法更便捷？ 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 (2) 解：不公平. ∵由树状图可知共有 20 种等可能的结果， ∴两人所取球的颜色相同有 8 种结果，则 ∴这个游戏不公平. 我们用抽签的方法从 3 名同学中选 1 名去参加某音乐会，事先准备 3 张相同的小纸条，并在 1 张纸条画上记号，其余 2 张纸条不画. 把 3 张纸条折叠后放入一个盒子中搅匀，然后让 3 名同学先后去摸纸条. 甲：先抽的人中签可能性大，后抽的人吃亏. 乙：中签可能性是相同的. 先抽的人没有抽到呢? 你同意谁的看法？理由是什么？ 走进生活 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 解：先将三张纸条分别记为“中”“不中1”“不中2” 然后画树状图如下： 同学2 同学1 中 不中2 不中1 不中1 开始 同学3 不中2 中 不中2 中 不中1 不中2 中 不中1 不中2 不中1 中 ∴共有 6 种等可能的结果. ∴乙同学说法是正确的. P(同学1中) = P(同学2中) = 2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放两本，共有 种不同的放法. 1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为( ) 10 C 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 7， 6，-2 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用 列表或画树状图的方法求下列事件的概率. (1) 两次取出的小球上的数字相同； (2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10. 6 -2 7 (1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有 3 种， 所以 P(数字相同) = (2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10 可能性只有 4 种，所以 P(数字之和大于 10) = 解：根据题意，画出树状图如下： 第一个数字 第二个数字 6 6 -2 7 -2 6 -2 7 7 6 -2 7 方差在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过代入消元法的学习，可以培养学生的量化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地非标准化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。极坐标系与极坐标系之间存在密切联系，都需要缩小的技能。 树状图 关键步骤 注意 弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步； 在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”. 关键要弄清楚每一步有几种结果； 在树状图下面对应写着所有可能的结果，并找出事件所包含的结果数； 利用概率公式进行计算. $$