22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.若关于的二次函数与轴有交点，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 2.若二次函数的图像经过点，，则关于的方程的解为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数的变量，的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线经过点，，若则下列关系式正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 8.如图，二次函数为常数，的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：；；关于的方程的解是，；其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若函数的图像与轴有且只有一个公共点，则的值为          ． 10.如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为          ． 11.关于的二次函数是常数的图象与轴只有一个公共点，则的值为          ． 12.函数与轴的交点如图所示，则方程的实数根______，______． 13.二次函数自变量与函数的对应值如下表： 若，则一元二次方程的两根，的取值范围是______． 14.若关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第          象限． 15.二次函数的部分对应值如下表： 则它的图象的对称轴为直线          ；当时，对应的函数值为          ． 16.已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数，为常数． 若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； 若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； 求证：该二次函数的图象不经过原点． 18.本小题分 已知二次函数． 求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点； 若该函数的图象与轴交于点，则 当时，的取值范围是______； 当时，的取值范围是______． 19.本小题分 对于抛物线． 它与轴交点的坐标为______，与轴交点的坐标为______，顶点坐标为______； 在所给的平面直角坐标系中画出此时抛物线； 结合图象回答问题：的解集是______． 20.本小题分 二次函数的图象如图所示． 不求，，的值，写出方程的两个根； 当取何值时，？由此写出不等式的解集； 不用待定系数法，写出二次函数的表达式． 21.本小题分 如图，抛物线的顶点的坐标为，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． 求抛物线的解析式； 已知点，在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求出点的坐标． 22.本小题分 已知抛物线． 用配方法将化成的形式：______； 抛物线与轴交点，点在左侧，与轴交点，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：______； 当自变量满足：______时，函数． 第页共页 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：二次函数与轴有交点， 且， 解得且， 故选：． 根据二次函数与轴有交点，可知且，然后求解即可． 本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 2.【答案】  【解析】二次函数的图像经过点，，方程的解为，故选A． 3.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ， ，故A选项中原结论错误，不符合题意； 抛物线与轴的交点位于轴下方， 当时，， 当时，， 抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， 抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， 抛物线与轴有两个不同的交点， 关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ，故B选项中原结论错误，不符合题意； 当时，，且当时，， 抛物线开口向上， 抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， 当时，， ，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， 当，，时，则原函数解析式为， 当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：． 根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断； 根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断； 当时，，再由，即可判断； 当时，，当，，时，则原函数解析式为，则当时，，据此可判断． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：抛物线与轴有且只有一个交点， ， 解得． 故选：． 由题意得，即可得的值． 本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】  【解析】当时，；当时，，方程的一个根的取值范围是，  故选C． 6.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为． 当时，由图象知，当时，，即； 当时，由图象知，当时，，即； 综上可得故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，数形结合的思想，利用数形结合的思想求解是解题的关键．根据函数图象写出直线以及上方部分的的取值范围即可． 【解答】 解：由图可知，成立的的取值范围． 8.【答案】  【解析】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交轴于正半轴， ，， 又抛物线的对称轴在轴右侧，， ， ，故结论正确； 由函数的图象可得：当时，，即，即，故结论错误； 二次函数的图象交轴于，两点，点，点， 关于的方程的解是，，，故结论正确； 综上，结论正确的有个， 故选：． 根据图象可得：抛物线的开口向下，交轴于正半轴，即得，，进而可判断，即可判断结论； 当时，，即，可判断结论； 根据二次函数与轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论，可得答案． 本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9.【答案】或或  【解析】当时，函数解析式为，是一次函数，图像与轴有且只有一个公共点；当时，函数为二次函数，要使函数的图像与轴有且只有一个公共点，则，解得或综上所述，的值是或或． 10.【答案】，  【解析】抛物线与直线相交于点，，既符合抛物线，也符合直线，关于的方程的解为，． 11.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数是常数的图象与轴只有一个公共点， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 12.【答案】    【解析】解：二次函数与轴的交点为，， 即当或时，， 的实数根，， 故答案为：，． 根据函数与轴的交点为，即可求出答案． 此题考查了二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的解的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 13.【答案】，  【解析】解：， ，， 函数的图象与轴的交点就是方程的根，函数的图象与轴的交点的纵坐标为． 由表中数据可知：在与之间， 故对应的的值在与之间，即， 在与之间，故对应的的值在与之间，即． 故答案为，． 根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围． 此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 14.【答案】四  【解析】略 15.【答案】   【解析】略 16.【答案】  【解析】解：由题意可得： ，即， 设另一根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】解：在二次函数中， ， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， ， ， 解得； 二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得：； 证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点．  【解析】由二次函数的图象与直线有两个交点，知函数的最小值小于列式计算即可； 根据图像与轴有交点，，列式计算即可； 根据当时，，即可证明． 本题考查二次函数的综合，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 18.【答案】见解析；   ；．  【解析】证明：令，则， ， 即； 不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点； 函数的图象与轴交于点， ，即， ， 抛物线的开口向上，当时，函数的最小值为， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：， 故答案为：． 当， ， ，， 即抛物线与轴的交点坐标为，． 当时，的取值范围为． 故答案为：． 令，则，再证明即可得到结论； 根据函数的解析式先求解函数的最小值，再分别计算当，时的函数值，把代入函数解析式，解方程，结合函数图象即可求解． 本题考查的是二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19.【答案】和，，；   见解析；   ．  【解析】解：当时，，解得，， 抛物线与轴交点的坐标为，， 当时，， 抛物线与轴交点的坐标为， ， 该抛物线的顶点坐标为； 故答案为：，，，； 如图， 如图，当时，， 的解集是． 故答案为：． 解方程得抛物线与轴交点的坐标为，，计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴交点的坐标，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标； 利用描点法画出函数图象； 利用函数图象，写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 20.【答案】【小题】 解：，． 【小题】 ，． 【小题】 ．   【解析】 略  略  略 21.【答案】；   ．  【解析】解：由题意可得： 设， 则， 解得：， ； 存在，理由如下： 如图，作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于， ， ， 此时的值最小， ，抛物线图象的对称轴为直线， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 的解析式为：， 当时，， ． 利用待定系数法求解即可； 根据二次函数图象的对称性求出点对称点，可求得的解析式，即可求得点坐标． 本题主要考查二次函数的综合，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 22.【答案】；   ；   或．  【解析】解： ， 故答案为：； 抛物线如图所示： 的面积， 故答案为：； 观察图象可知当或时，， 故答案为：或． 利用配方法解决问题； 利用三角形的面积公式求解； 利用图象法解决问题． 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$