第21章 一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章 一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 3.方程的根是    ． A. B. C. ， D. ， 4.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则此菱形的面积是  (    ) A. B. C. D. 5.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 6.解方程，最恰当的方法是(    ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 7.【整体思想】我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为提高到，若每年的年增长率相同，则年增长率为          ． 10.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 11.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是          ． 12.若方程的两个根为，，则的值为          ． 13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 14.根据图中的程序，当输入一元二次方程的解为时，输出的结果           ． 15.如图所示的是一个简单的计算程序，如果输出的数值为，那么输入的值为          ． 16.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.用指定方法解下列一元二次方程： 直接开平方法； 配方法； 公式法； 因式分解法． 18.用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。 19.本小题分 小明在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．如图所示，如果要使整个挂图的面积是，求金色纸边的宽度． 20.本小题分 商场销售某品牌手机，原来每台的售价是元，一段时间后为了清库存，连续两次降价出售，现在的售价是元，求两次降价的平均降价率是多少？ 21.本小题分 已知关于的方程． 若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 22.本小题分 研究旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不能低于元． 当参加人数人时，人均旅游费用________元；当参加人数人时，人均旅游费用________元； 已知该班实际人数超过人，共支付给旅行社问：共有多少名同学参加了研学活动？ 23.本小题分 某文具专柜销售一种进价为元的书包，当售价为元时，日销售量为个，国庆期间，通过市场调查发现这种书包的单价每降低元，日销售量可增加个．现准备降价元销售，请回答： 该专柜原来销售这种书包每天可获利          元； 降价销售时，现在每个书包获利          元，每天可售出书包          个； 若该专柜销售这种书包要想平均每天获利元，则每个书包应降价多少元？ 在中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值． 【解答】 解：根据题意，得， 解得， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：当时，，解得， 当时，方程是一元二次方程， 根据题意可得：， 解得，， 综上， 故选：． 由于的取值不确定，故应分此时方程化简为一元一次方程和此时方程为二元一次方程两种情况进行解答． 本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分和两种情况进行讨论． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查用因式分解法解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程主要是左边因式分解，右边等于． 【解答】 解：， ， ， ， 故选C． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，属于基础题先把方程看作关于的一元二次方程，利用题中的解得到或，然后解两个一元一次方程即可． 【解答】 解：通过两个方程的形式进行整体代换由题意可得或， 所以，． 故选D． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 此题可设年增长率为，第一年为，那么第二年为，列出一元二次方程解答即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，掌握有关增长率问题的等量关系是解题的关键． 【解答】 解：设年增长率为，根据题意列方程得： 解得，不符合题意舍去 所以年增长率为，即． 故答案为：． 10.【答案】且  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且， 的取值范围是：且． 故答案为：且． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围． 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式根据题意知道有两个不相等的实数根，所以，且二次项系数不为， 列式可得到结果． 【解答】 解：根据题意得： ，且， 解得：且． 14.【答案】或  【解析】解： ，解得，， 当时， 当时，， 或． 15.【答案】或  【解析】略 16.【答案】－1或4  【解析】略 17.【答案】【小题】解： ， 【小题】 解：， ， ， ，． 【小题】 解： ，， ， 【小题】 解：   【解析】 此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解．  【分析】 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．方程利用配方法求出解即可．  此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．方程利用公式法求出解即可．    此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．方程利用因式分解法求出解即可． 18.【答案】【小题】 ， 【小题】 ， 【小题】 ， 【小题】 ，   【解析】 略  略  略  略 19.【答案】解：设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据题意，得，解得，不符合题意，舍去答：金色纸边的宽度为．  【解析】略 20.【答案】解：设两次降价的平均降价率为， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：两次降价的平均降价率为．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设两次降价的平均降价率为，根据该品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 21.【答案】【小题】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 的取值范围是． 【小题】 解：设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系， 得 解得 故的值是，该方程的另一个根是．   【解析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围．  本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程组，求出的值和方程的另一根． 22.【答案】解：；  ； 设共有名同学参加了研学活动，  根据题意，得：，  整理，得：，  解得：，，  ，  ，  ，  答：共有名同学参加了研学活动．  【解析】【分析】 此题考查一元二次方程的应用，得到总费用的等量关系是解决本题的关键． 根据“如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元”可得答案．  根据题意先判断出参加的人数在人以上，设共有名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：在人基础上降低的人数参加人数，列出方程，然后求解即可得出答案． 【解答】解：当参加人数人时，人均旅游费用元； 当参加人数人时，人均旅游费用元； 故答案为，； 见答案． 23.【答案】【小题】   【小题】 【小题】 解：由题意可得：该专柜销售这种书包每天的盈利为：元， 要想每天盈利元，则有：， 整理得：． 解得，． 答：每个书包应降价元或元； 【小题】 解：要想尽可能地让利于顾客，则每个书包应降价元， 此时，每个书包的售价为元，利润为元， 利润率为． 答：该专柜销售这种书包的利润率是．   【解析】 【分析】 本题主要考查了有理数运算的应用． 根据利润售价进价列式即可求解． 【解答】 解：． 即该专柜原来销售这种书包每天可获利元；  【分析】 本题主要考查了列代数式． 根据题意即可得到降价销售时，现在每个书包获利元，每天可售出书包个． 【解答】 解：，． 即降价销售时，现在每个书包获利元，每天可售出书包个；  本题主要考查了一元二次方程的应用． 根据销售这种书包平均每天获利元列出方程，解方程即可；  本题主要考查有理数运算的应用． 在中盈利不变的前提下，要想尽可能地让利于顾客，得出每个书包应降价元，再根据利润率计算即可． 第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$