21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.一种药品原价为每盒元，经过两次降价后每盒元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱隆价元，每天可多售出箱．若要使每天销售饮料获利元，设每箱降价的价钱为元，则根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 4.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示设矩形的一边长为米，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 5.如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为(    ) A. B. C. D. 6.某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为，宽为，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了圈，则甲的速度是乙的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 8.在我国古代数学著作增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小尺，进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺，进不了；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门试问门的宽、高和竿长各是多少尺？如图，设竿长为尺，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某社区为改善环境，决定加大绿化投入四月份绿化投入万元，六月份绿化投入万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为______． 10.有一人患了流感，经过两轮传染后，一共有人患了流感，按照此速度，三轮后将会有______人传染． 11.某赛季篮球职业联赛，采用单循环制每两队之间都进行一场比赛，比赛总场数为场，若设参赛队伍有支，则可列方程为______． 12.某市年月手机用户数量为万，同年月用户数量增长至万，设、月份用户数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为______． 13.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动若出发后，，则           ． 14.某商场将进货价为元件的某种服装以元件的价格售出，平均每天可售件为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施调查发现：若每件降价元，则每天可多售件如果每天要盈利元，那么每件应降价          元 15.我国南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为          ． 16.一辆汽车，新车购买价为万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为万元，那么可以列出关于的方程是          列出方程即可，无需求解 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力某城市博物馆，去年月份接待游客万人，月份接待游客增加到万人求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． 18.本小题分 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？ 19.本小题分 云南省某楼盘在月份准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商决定对价格下调，在月份以每平方米元的均价开盘销售． 求平均每次下调的百分率； 若此后一个月下调的百分率不变，某人准备在月份购买一套平方米的房产，需花费多少元． 20.本小题分 商场出售某种商品，每件的进价为元，经市场调查发现，平均日销售量件与每件售价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围； 该商品日销售利润能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 21.本小题分 某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且让利于顾客，决定降价处理，经市场调查，_____，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 解：设，根据题意得 根据上面所列方程，完成下列任务： 数学问题中横线处缺少的条件是______． 所列方程中未知数的实际意义是______． 请写出解决上面的数学问题的完整解题过程． 22.本小题分 如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． 当点运动到点时，，两点都停止运动， ______， ______；用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，是否存在，使得三角形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：舍去； 故选：． 设每次降价的百分率为，根据原价每盒元，经过两次降价后每盒元，列出方程进行求解即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 2.【答案】  【解析】解：设花卉带的宽度为， 根据题意得：． 故选：． 设花卉带的宽度为，根据草坪的面积为总面积的，即可列出关于都一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每箱降价的价钱为元，则每箱的利润为元，每天的销售量为箱，根据每天销售饮料获得的利润每箱的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设每箱降价的价钱为元，则每箱的利润为元，每天的销售量为箱， 依题意，得． 4.【答案】  【解析】【分析】 设矩形的一边长为米，根据矩形的面积公式即可得到结论． 本题考查了列代数式，正确地理解题意列出代数式是解题的关键． 【解答】 解：由题意可得，． 故选：． 5.【答案】  【解析】设小圆形场地的半径为，则大圆形场地的半径为根据题意，得，解得或不合题意，舍去故小圆形场地的半径为． 6.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，根据矩形的面积公式进行列出方程即可． 【详解】解：由题意和图可列方程为：； 故选B． 7.【答案】  【解析】解：设甲的速度为，乙的速度为，圆形跑道的长度为，则第一次相遇时，甲的路程为，乙的路程为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， 甲的速度是乙的倍． 故选：． 设甲的速度为，乙的速度为，圆形跑道的长度为，则第一次相遇时，甲的路程为，乙的路程为，利用时间路程速度，结合两人第一次相遇时的运动时间相同，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：若设竿长为尺，则为尺，为尺， 根据题意得：． 故选：． 若设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 利用该社区六月份绿化投入金额该社区四月份绿化投入金额平均每月绿化投入的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设每轮传染中每人传染人， 根据题意得：， 即， 解得：，不符合题意，舍去， 人， 按照此速度，三轮后将会有人传染． 故答案为：． 设每轮传染中每人传染人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后，一共有人患了流感”，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设参赛队伍有支，则每只参赛队伍参加场比赛， 根据题意得：． 故答案为：． 由参赛队伍有支，知每只参赛队伍参加场比赛“根据采用单循环制，比赛总场数为场”即可列出方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意得：， 故答案为：． 根据某市年月手机用户数量为万，同年月用户数量增长至万，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】提示：根据题意，得，因为，所以，即，解得，舍去． 14.【答案】  【解析】提示：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件．根据题意，得解得，因为要尽快减少库存，所以． 15.【答案】  【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：矩形的宽为步，且宽比长少步， 矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为万元”列方程即可． 【详解】解：设每年的年折旧率为， 根据题意，得， 故答案为：． 17.【答案】．  【解析】解：设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为． 设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，利用该博物馆去年月份接待游客人数该博物馆去年月份接待游客人数该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18.【答案】解：设水渠的宽度为，由题意得： 解得不含题意，舍去， 答：水渠的宽度为．   【解析】把条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可． 19.【答案】；   元．  【解析】设平均每次下调的百分率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：平均每次下调的百分率为； 根据题意得：元． 答：需花费元． 设平均每次下调的百分率为，利用该楼盘在月份的均价该楼盘在月份的均价平均每次下调的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 利用总价该楼盘在月份的均价，即可求出结论． 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】；   元或元．  【解析】设与之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：当每件的售价为元或元时，该商品日销售利润为元． 设与之间的函数关系式为，根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； 利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据表格中的数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． 21.【答案】单价每降低元时，月销售量可增加件；   单价降低了元；   定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元．  【解析】解：根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低元时，月销售量可增加件． 故答案为：单价每降低元时，月销售量可增加件； 根据所列方程，可知所列方程中未知数的实际意义是单价降低了元． 故答案为：单价降低了元； 设单价降低了元，根据题意，得， 整理得， 解得舍去，， ． 答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元． 根据所列方程，可得出题干中缺失的条件； 根据所列方程，可找出未知数的实际意义； 利用月销售总利润每件的销售利润月销售量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合要让顾客得到更大的实惠，可确定的值，再将其代入中，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】，； ；   存在，．  【解析】秒，秒， ． 当运动时间为时，，，． 故答案为：，； 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：当为时，的长度等于； 存在，当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：存在，使得三角形的面积等于，此时的值为． 利用时间路程速度，可确定的取值范围． 当运动时间为时，，，结合，可得出； 利用勾股定理，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 存在，当运动时间为时，，，根据三角形的面积等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：根据各线段间的关系，用含的代数式表示出，的长；利用勾股定理，列出关于的一元二次方程；利用三角形的面积公式，列出关于的一元二次方程． 第8页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$