精品解析：重庆市南川区第一中学校2024-2025学年八年级下学期第一次定时作业数学试题（平行班）

南川一中2025年春初二数学第一学月练习题 （时间：120分钟分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟记概念是解决此题的关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、不是二次根式； B、当时，不是二次根式； C．，∴是二次根式； D、当时，，不是二次根式． 故选：C． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各项化简，再根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】∵， ∴不是最简二次根式，故A不符合题意； ∵， ∴不是最简二次根式，故B不符合题意； 是最简二次根式，故C符合题意； ∵， ∴不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键熟练掌握二次根式的性质． 3. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 4. 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：． ∴第三边长的平方是25或7， 故选：B． 5. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，无理数大小的估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先根据无理数大小的估算得到，进而判断出，，然后原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ． 故选：B． 6. 计算的结果是（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】先进行二次根式的计算，再根据的取值范围确定结果的取值范围． 【详解】解： ， ∵49<50<64，即7<<8， ∴在7和8之间， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 7. 三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+b）-c=2ab，得到结论． 【详解】∵(a+b) −c=2ab， ∴a+b=c. 所以直角三角形. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握勾股定理的公式. 8. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，解题的关键是熟知二次根式的乘法法则． 9. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意中，根据绝对值的性质以及二次根式的性质化简即可 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选B 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°，推出∠BDC′=90°，在Rt△BDC′中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°， ∴∠BDC′=180°-45°-45°=90°， 在Rt△BDC′中，BD=2CD，BC′=10， ∴,即， 解得：CD=2，BD=4， ∴BC=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，判断出△BDC′是直角三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____cm2． 【答案】81 【解析】 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为（cm）， ∴此正方形的面积为92＝81（cm2）， 故答案为：81． 【点睛】考核知识点：勾股定理.根据勾股定理求出正方形的边长是关键. 12. 已知长方形的长和宽分别为，则它的周长是_______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】此题考查了二次根式加减运算的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用长方形的周长计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵一个长方形的长和宽分别是， ∴它的周长为：， 故答案为：． 13. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_______________________米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为， 过点作于，连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故答案为：10． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 14. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 15. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：等腰△ABC中，OA=OB=3， ∵O为AB的中点， ∴OC⊥AB， 根据勾股定理得OC=， ∴OM=OC=， ∴点M对应的数为． 故答案为∶ 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程组，解分式方程．熟练掌握解一元一次方程组，解分式方程是解题的关键． 解一元一次方程组可求得，，解分式方程可得，且，进而可得且，然后求满足要求的所有整数的值，最后求和即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组的解集为， ∴，即， ， ， 解得，， 当时，是原分式方程的解， ∴， ∵关于y的分式方程有非负数解， ∴， 解得，， ∴且， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：5． 17. 观察下列各式的规律：；；，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用根号内的分数的分母与根号外的数字之间的关系即可求得结论，找出根号内的分数的分母与根号外的数字之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，且满足，则称这个四位数为“大吉数”．若是“大吉数”，则________．若一个“大吉数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算、整式加减的应用，解题关键是正确理解题意． 根据题意可得，即可求得； 先根据大吉数的定义可得，能被整除， 可推出、及能被整除，综合即可推出的最大值． 【详解】解：是“大吉数”， ，即， ； 是“大吉数”， ， 为整数， 又、、、都是个位数， ，， 能被整除， 、、是的倍数， 能被整除， 要使最大，则应取最大值， 又是个位数， ，，，， 最大值应为． 故答案为：；． 三、解答题：（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长度，从而根据速度公式可得出船航行的速度． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，已知等腰的底边是腰上一点，且 （1）求证：是直角三角形； （2）求的周长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答． （1）由，知道，所以为直角三角形， （2）由（1）可求出的长，周长即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：设， ∵是等腰三角形， ∵， ∴ 即 解得：， ∴的周长 23. 如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 【答案】90. 【解析】 【分析】连接AC，先根据AB⊥BC，AB=5，BC=12求出AC的长，再判断出△ACD的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接AC，过点C作CE⊥AD于点E， ∵AB⊥BC，AB=5，BC=12， ∴AC===13， ∵CD=13，∴AC=CD=13， ∵AD=10，∴AE=AD=5， ∴CE===12， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AD•CE=×5×12+×10×12=30+60=90． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 24. 先化简，再求值其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先通分，并将除法运算转化为乘法运算，再约分化简成最简式，最后把a的值代入计算即可解题． 【详解】解： ， ， 原式． 25. 如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由降为，已知原滑滑梯的长为，点在同一水平地面上． （1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到） （2）若滑滑梯的正前方能有长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）改善后滑滑梯会加长2.07 m；（2）这样改造能行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求AD长的时候，可在直角三角形ADC内，根据∠D的度数和AC的长，运用正弦函数求出AD的长． （2）本题实际要求的是BD的长是否超过3m，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就不可行，反之，则可行．就要先求出BD的长．根据BD=CD-BC即可求解． 【详解】（1）Rt△ABC中，AC=AB×sin45°=（m）， Rt△ADC中，∠D=30°， ∴AD=2AC=（m）， ∴AD-AB=≈2.07（m）．  改善后滑滑梯会加长2.07 m； （2）这样改造能行． 在直角△ACD中，CD=（m）， Rt△ABC中，∠ABC=45°， ∴BC= AC=（m）， 因为BD=CD-BC=≈2.59（m），而6-3＞2.59． 因此，像这样改造是可行的． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的基本出发点． 26. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形运动时间． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发2秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴, ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：； ③当时，过点C作于点E，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 综上可知当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南川一中2025年春初二数学第一学月练习题 （时间：120分钟分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知两正方形面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 4. 已知一个两边长分别为和，则第三边长的平方是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 6. 计算的结果是（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____cm2． 12. 已知长方形的长和宽分别为，则它的周长是_______． 13. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_______________________米． 14. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 15. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ． 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为________． 17. 观察下列各式的规律：；；，若，则______． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，且满足，则称这个四位数为“大吉数”．若是“大吉数”，则________．若一个“大吉数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的的最大值是________． 三、解答题：（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 21 计算： （1）； （2）． 22. 如图，已知等腰底边是腰上一点，且 （1）求证：是直角三角形； （2）求的周长 23. 如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 24. 先化简，再求值其中． 25. 如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由降为，已知原滑滑梯的长为，点在同一水平地面上． （1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到） （2）若滑滑梯正前方能有长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．（参考数据：，，） 26. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$