精品解析：江苏省无锡市宜兴市宜兴外国语学校2024-2025学年九年级下学期数学第一次适应性练习

2024—2025学年度第二学期初三年级数学第一次适应性练习卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知是不等式的解，b的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（ ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 5. 张老师随机抽取九年级（3）班5名学生的数学网课检测成绩（单位：分）如下：80，98，98，83，91，关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 6. 直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是(－3，0)，以下各点在直线y＝kx上的是(　　) A. (－4，0) B. (0，3) C. (3，－4) D. (－4，3) 7. 一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ） A. B. － C. －4 D. 4 10. 如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：_____． 12. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______． 13. 如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为________． 14. 已知一个直棱柱共有15条棱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是______． 15. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 16. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 18. 如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程；； （2）解不等式组：． 21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 22. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 23. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 24. 如图，在中，是的重心，的延长线交边于点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点B，且与相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与半径相交于点D，交于点E，连接．若，则弓形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 25. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 网络直销相对于传统直销而言，没有地域限制且市场可期待值高，因而一些传统商家开始向线上转型．某商家通过“直播带货”，一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）（）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为w（元）． （1）当销售单价为32元时，此时商品每天的销售量为________； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）若每天至少销售120件，且销售单价不低于18元时，求每天所获利润w的取值范围． 27. （1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值； （2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值； （3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期初三年级数学第一次适应性练习卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是， 故选：B． 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算，同底数幂相乘，完全平方公式，合并同类项的法则进行运算即可． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，同底数幂相乘，完全平方公式，合并同类项，掌握运算法则是解题关键． 3. 已知是不等式的解，b的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x的值代入不等式，求出b的取值范围即可得解． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴， 解得， 所以，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了不等式的解和解不等式，熟练掌握不等式的解是解答此题的关键． 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（ ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=2， ∴B、D选项不符合题意， 将点（0，1）代入A中，得（x-2）2+1=（0-2）2+1=5，故A选项错误， 代入C中，得（x-2）2-3=（0-2）2-3=1，故C选项正确． 故选∶C． 【点睛】本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为 5. 张老师随机抽取九年级（3）班5名学生的数学网课检测成绩（单位：分）如下：80，98，98，83，91，关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算． 【详解】解：98出现的次数最多， ∴这组数据的众数是98，故A说法正确； ，故B说法正确； 这组数据的中位数是91，故C说法正确； ==55.6，故D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键． 6. 直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是(－3，0)，以下各点在直线y＝kx上的是(　　) A. (－4，0) B. (0，3) C. (3，－4) D. (－4，3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y＝kx﹣4， 把x＝﹣3，y＝0代入y＝kx﹣4中，﹣3k﹣4＝0， 解得：k， 所以直线y＝kx的解析式为：yx， 当x＝3时，y＝﹣4， 当x＝﹣4时，y， 当x＝0时，y＝0， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 7. 一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为， 则可列方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键． 8. 如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，可得中心角的度数，进而可得∠AOD的度数，再根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， ∵正多边形的每个外角相等，且其和为， ∴多边形的边数为：， ， ． ∵OA=OD ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及中心角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记公式是解答本题的关键． 9. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ） A. B. － C. －4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴∠AOB=∠CAD=60°， ∴AD∥OB， ∴S△OBP=S△AOB， ∵S△OBP＝4 ∴S△AOB＝4 过点B作BE⊥OA于点E， 则S△OBE=S△ABE=S△AOB， ∴S△OBE=×4=2， ∵点B、D均在双曲线（x＞0）上，由反比例函数系数k的几何意义, ∴k的值为4． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中． 10. 如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据将沿折叠，， 使点B落在射线上的点处，，得，故，判断①正确；由，得，可得是等边三角形，即可得，判断②正确；当点N与C重合时，可得， ，判断③错误；当最短时， ，过M作于T，交延长线于K，设，有，可求得，设，则， ， ，有，可求出， ，在中， ， ，故，在中， ，判断④正确． 【详解】解∶ 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ． ． 是等边三角形，， ． ．故①正确． ，， ． ． 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ， ，． ， 是等边三角形． ． ． 四边形为菱形：故②正确； 当点N与C重合时，如图： ，， ． 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ，． ． ，故③错误； 当最短时， ， 过M作于T，交延长线于K，如图： ， ， ，． 设，则， 在中，， ，解得， ． ， ． ． ． ， ， ． 设，则， ， ， ． 在中，． ，解得． ， ， 在中，， ， ． ． 在中， ．故④正确； 正确的有． 故选： C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 13. 如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数的函数值，先设出这个正比例函数解析式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 把点A坐标代入中得：， ∴， ∴这个正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 14. 已知一个直棱柱共有15条棱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面积，根据棱柱侧面积的面积公式，代入数据即可得出结论． 【详解】一个直棱柱共有15条棱， 该直棱柱为五棱柱，侧面是5个相同的长方形，长方形的长，宽为， 所有侧面的面积之和为：． 故答案为：100． 15. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 16. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出是直角三角形，为斜边上的中线，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，， ∴，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∵为线段的中点， ∴图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 18. 如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式加减运算和实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）根据实数运算法则运算即可； （2）根据分式加减运算法则化简即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. （1）解方程；； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程等知识点， （1）利用公式法求解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集； 解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：（1） ∵，，， ∴， ∴， ，． （2）解不等式组： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：如图，由（1）可知，， ，． ， ， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，．再证，则四边形为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如图所示： （2）D （3）300人 【解析】 【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． 23. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 24. 如图，在中，是的重心，的延长线交边于点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点B，且与相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与半径相交于点D，交于点E，连接．若，则弓形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 点即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，扇形的面积计算以及弓形的面积计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 （1）过点作，作的垂直平分线交直线于点，以为圆心、以的长为半径作即可； （2）设直线交于点，连接、，则，先证明，进一步证明得到，再设的半径为，并根据是的重心和得到和，进一步构造关于的方程求出，最后根据求解． 【小问1详解】 如图，以为圆心、以为半径画弧交于点飞，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于、，作直线；分别以、为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于、，作直线交直线于点，以为圆心、以的长为半径作， 【小问2详解】 如图，设直线交于点，连接、，则 ， ， ， 与相切于， ， ， ， ， 是的重心，， ， 设的半径为，则， ， 解得：； 检验：经检验知是原方程的根， ， ， ． 25. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示：     ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明； （2）过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示： 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴, ∴即， 解得：， ∴． 【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 26. 网络直销相对于传统直销而言，没有地域限制且市场可期待值高，因而一些传统商家开始向线上转型．某商家通过“直播带货”，一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）（）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为w（元）． （1）当销售单价为32元时，此时商品每天的销售量为________； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）若每天至少销售120件，且销售单价不低于18元时，求每天所获利润w的取值范围． 【答案】（1）80 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得时的函数关系式，再即可求解； （2）根据每天的利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式并化简即可； （3）根据题意列不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设函数关系式为， 把，；，代入， 得，解得， 函数关系式为， 当时，， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：由图象得当时，设函数关系式为， 根据题意得； 由（1）得当时，设函数关系式为， 根据题意得； ∴； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得， 当时，则， 即； 当时， ， ， 当时，有最大值，最大值为， ∵当时，随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 当时，随的增大而增减小， 当时，有最小值，最小值为， ∴w的取值范围为 综上w的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和不等式组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． 27. （1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值； （2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值； （3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）5；（3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得，设则，中利用勾股定理求得，则，，进而求解即可； （2）由矩形的性质和翻折性质得到，证明，利用相似三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得， 进而求得，可求解； （3）证明得到，则；设，，过点D作于H，证明得到，在中，由勾股定理解得，进而可求得，在图③中，过B作于G，证明，则，，再证明，在中利用锐角三角函数和求得即可求解． 【详解】解：（1）如图①，∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质得，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴，， ∴； （2）如图②，∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质得，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，即，又， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则； 设，， 过点D作于H，如图③，则， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴，， 在中，， 在图③中，过B作于G，则， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， 在中， ，， ∵， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $