2.2二次函数的图象与性质 第4课时课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2 二次函数的图象与性质 第4课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 锐角三角函数 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；当x＜h时，y随x的增大而增大. y=a(x-h)2+k的性质 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 复习回顾 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 探究一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 猜想：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ y = ax² 通过上下左右平移 y = a(x−h)2+k y = ax²+bx+c 是否有关系？ 相互转化 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； 填一填 (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. − 6 36 − 6 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题1 怎样将 y=2x² - 4x + 5化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ y = 2x² - 4x + 5 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. = 2(x² - 2x) + 5 = 2(x² - 2x + 1² - 1²) + 5 = 2(x - 1)² + 3 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题2 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象？ 3 2 1 0 -1 x 解：先利用图形的对称性列表； 11 5 3 5 11 然后描点画图，得到图象 如右图. y=2(x-1)²+3 1 2 x 1 y O -1 -1 3 6 2 5 3 4 7 8 9 10 11 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题3 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说出其增减性. 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？ 1 2 x 1 y O -1 -1 3 6 2 5 3 4 7 8 9 10 11 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 解： 例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性. y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练一练 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8. y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4 y = 2x2 - 12x + 8 对称轴：x = 1 顶点坐标：(1，4) = 2(x2 - 6x) + 8 = 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8 = 2(x - 3)2 - 10 对称轴：x = 3 顶点坐标：(3，-10) 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 探究二：求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？ 配方： 提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项 化简：去掉中括号 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是： 顶点坐标是： 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. (1) (2) x y O x y O 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 【例1】求函数y＝2x2－4x＋1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大值或最小值. 解：y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1， ∵a＝2＜0， ∴该函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)， ∴y有最小值，当x＝1时，y的最小值为－1 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 2.两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶图中右面钢缆的表达式是什么吗? 你是怎样计算的？与同伴交流。 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 ⑶图中右面钢缆的表达式是什么吗? 你是怎样计 算的？与同伴交流。 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 ⑶图中右面钢缆的表达式是什么吗? 你是怎样计 算的？与同伴交流。 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 探究三：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 开口方向 一般研究哪几种性质？ 顶点坐标 对称轴 增减性 a 决定 a，b 共同决定 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c 决定什么？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数图象与 a、b、c 的关系 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 1. 抛物线y＝x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是(　　) A. 直线x＝1，(1，－4) B. 直线x＝1，(1，4) C. 直线x＝－1，(－1，4) D. 直线x＝－1，(－1，－4) A 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 2、求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝x2－4x－1； 解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－5）； （2）y＝－2x2＋4x－3. 解：（2）开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－1）. 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝ x2＋2x＋1； 解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为（－3，－2）. （2）y＝－3x2－4x＋2. 解：（2）开口向下，对称轴为直线x＝－ ，顶点坐标为 . 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 3、 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( ) A.a<0 B．b<0 C．c>0 D．a＋b＋c<0 D 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 4、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为x＝－1，给出下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④a－b＋c＜0，其中正确的结论是__________(只填序号). ③④ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 开口方向：当a＞0时，开口向上； 当a＜0时，开口向下； 顶点坐标： 对称轴：直线x＝－ 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 增减性　 当x＜－ 时，y随x的增大而减小； 当x＞－ 时，y随x的增大而增大 当x＜－ 时，y随x的增大而增大； 当x＞－ 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－ 时，y有最小 值，为 当x＝－ 时，y有最大 值，为 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$