3.3幂函数11题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 课程标准 学习目标 ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； ②掌握常见幂函数的图像； ③利用幂函数的单调性比较指数式大小。 ④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解 通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数. 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．（2025高一·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国月考）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国月考）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2：求幂函数解析式或求值 4．（25-26高一·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 5．（2025高三·上海虹口月考）已知幂函数的图象经过点，则 ． 6．（2025高一·广西柳州月考）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·湖南郴州月考）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 题型3：根据幂函数求参数 8．（2025高二·河北沧州·期末）已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 9．（2025高二·江西·期末）“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 10．（2025高二·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．（2025高一·辽宁朝阳月考）已知幂函数，则 . （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 12．（25-26高一·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 13．【多选】（2025高三·全国月考）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 14．（2025高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 题型5：幂函数的图象及应用 15．（25-26高一·全国·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   16．（2026高三·全国月考）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 17．（2025高二·山东日照·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 19．（2025高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 21．（2025高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 22．（2025高一·上海月考）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 题型7：求幂函数的值域 23．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 24．（2025高一·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 25．（2025高一·辽宁盘锦月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 26．（2025高三·上海月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 27．（25-26高三·重庆月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（25-26高一·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．【多选】（2025高三·全国月考）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（2025高二·北京月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 31．（25-26高一·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 32．（2025高一·天津·期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 33．（2025高二·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（2025高二·上海·期末）若幂函数，在上是严格减函数，则 . 35．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 36．（2025高一·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 38．（2025高一·上海宝山月考）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 39．（2025高一·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（2025高一·湖北月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 41．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 42．（2025高二·广东深圳·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 43．【多选】（2025高一·贵州遵义月考）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 44．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）下列函数中是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 3．（2025高一·全国月考）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 4．（2025·全国III卷）已知，，，则 A． B． C． D． 5．（安徽省部分重点高中2025-2026学年高一学期11月联考数学试题）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 6．（2025高三·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 二、多选题 7．（2025高一·福建漳州·期末）若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 8．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 9．（2025高三·海南月考）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（2025·宁夏银川·模拟预测）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为 ． 11．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 12．（2025高一·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 13．（2025高三·广东月考）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________. 四、解答题 14．（2025高一·福建月考）已知幂函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为偶函数． （1）求的值； （2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值． 15．（2025高一·福建龙岩·期中）已知幂函数是定义在R上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围. 16．（2025高一·陕西铜川·期中）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上. （1）求和的解析式； （2）定义求函数的最大值以及单调区间. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 课程标准 学习目标 ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； ②掌握常见幂函数的图像； ③利用幂函数的单调性比较指数式大小。 ④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解 通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数. 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．（2025高一·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解析】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 2．（2024高三·全国月考）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可得答案. 【解析】利用幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，故只有为幂函数. 故选：A. 3．（2025高一·全国月考）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数定义判断即可. 【解析】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 题型2：求幂函数解析式或求值 4．（25-26高一·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【解析】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 5．（2025高三·上海虹口月考）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据函数所过点可得解析式，代入即可求得结果. 【解析】，，，. 故答案为：. 6．（2025高一·广西柳州月考）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过该幂函数为奇函数排除A、B，由定义域可排除C，再分析D可得答案. 【解析】由于幂函数为奇函数，而AB选项的解析式非奇函数，故可排除， 对于C，为奇函数，但是，故可排除， 对于D，为奇函数，且经过两点，满足题意， 故选：D. 7．（2025高二·湖南郴州月考）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】待定系数法，设幂函数的解析式，代点可得. 【解析】设幂函数，代入点，得，所以， 所以函数的解析式. 故答案为： 题型3：根据幂函数求参数 8．（2025高二·河北沧州·期末）已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【解析】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 9．（2025高二·江西·期末）“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定，即得，由点在幂函数图象上即可推得等价条件. 【解析】是幂函数等价于，即．则得. 则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即． 故答案为：. 10．（2025高二·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【解析】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 11．（2025高一·辽宁朝阳月考）已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【解析】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 12．（25-26高一·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【解析】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 13．【多选】（2025高三·全国月考）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【解析】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 14．（2025高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【解析】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 题型5：幂函数的图象及应用 15．（25-26高一·全国·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【解析】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 16．（2026高三·全国月考）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【解析】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 17．（2025高二·山东日照·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【解析】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 18．（2025高一·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【解析】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 19．（2025高一·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解析】函数的定义域为. 故选：B 20．（2025高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)定义域为，图象见解析 (2)定义域为，图象见解析 (3)定义域为，图象见解析 【分析】根据幂函数的性质求定义域，再根据性质画出函数的图象. 【解析】（1）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是奇函数，关于原点对称，过点，，， 作出函数的大致图象，如下图所示， （2）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递减，且过点，，， 作出函数的大致图象，如图所示， （3）的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是偶函数，关于轴对称，且过点，，， 21．（2025高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【解析】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 22．（2025高一·上海月考）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【解析】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 题型7：求幂函数的值域 23．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【解析】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 24．（2025高一·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【解析】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 25．（2025高一·辽宁盘锦月考）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 26．（2025高三·上海月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【解析】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 27．（25-26高三·重庆月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义，即可判断. 【解析】由是R上单调增函数，得. 故“”是“”为充要条件. 故选：C. 28．（25-26高一·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【解析】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 29．【多选】（2025高三·全国月考）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【解析】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 30．（2025高二·北京月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【解析】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 31．（25-26高一·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 32．（2025高一·天津·期中）函数为幂函数，若函数在上单调递增，则实数 . 【答案】2 【分析】由幂函数得或，结合幂函数的单调性确定参数值. 【解析】由题设，可得或， 当，显然在R上不是增函数，不满足； 当，在R上单调递增，满足. 所以. 故答案为：2 33．（2025高二·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性及基本不等式求出命题p，q，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】命题p：幂函数在上单调递减， 则，即； 命题q：当时，恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，则. 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 34．（2025高二·上海·期末）若幂函数，在上是严格减函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数的性质逐个判断即可. 【解析】由幂函数的性质可知： 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格减函数， 故答案为： 35．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【解析】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 36．（2025高一·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【解析】由于，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 37．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 【答案】或 【分析】由幂函数在上单调递减，可得且，可得m的值为1或2，再结合图象关于轴对称确定函数解析式，最后结合幂函数的单调性解出不等式求出a的取值范围即可. 【解析】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以，当时，，当时，， 因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，解得； 则为， 由幂函数性质得在上均为减函数， 故等价于或或， 解得或，得到的取值范围为或. 38．（2025高一·上海宝山月考）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【解析】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 39．（2025高一·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【解析】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 40．（2025高一·湖北月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【解析】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 41．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 42．（2025高二·广东深圳·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性求解不等式. 【解析】已知幂函数在上单调递减，则 解不等式得：，所以 此时幂函数为，其图像关于轴对称，满足条件，所以 将代入不等式，得： 因为幂函数在上单调递增，所以由 可得： 解不等式，得： 满足不等式的的取值范围是 故选：D. 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 43．【多选】（2025高一·贵州遵义月考）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和单调性可得，即可根据奇偶函数的定义判定为奇函数，结合选项即可逐一求解. 【解析】因为幂函数在上是增函数， 所以解得，所以， 所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以在上单调递增,ABD正确，C错误 故选：ABD． 44．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可. 【解析】由幂函数在区间上单调递增，得，解得，A正确； 函数，函数在定义域R上不单调，是偶函数，不是奇函数，BD错误，C正确. 故选：AC 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）下列函数中是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义即可得到结果. 【解析】根据幂函数的定义知，是幂函数， 都不是幂函数． 故选：C． 【点睛】本题考查幂函数的定义，属于基础题. 2．（2025高一·全国月考）已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可． 【解析】由是幂函数， 知，解得或. ∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴. 故. 故选：A. 【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题． 3．（2025高一·全国月考）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案. 【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应． 故选：A． 4．（2025·全国III卷）已知，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 因为幂函数在R上单调递增，所以， 因为指数函数在R上单调递增，所以， 即b<a<c. 故选：A. 5．（安徽省部分重点高中2025-2026学年高一学期11月联考数学试题）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可 【解析】由函数是幂函数，可得，解得或． 当时，；当时，． 因为函数在上是单调递增函数，故． 又，所以， 所以，则． 故选：A． 6．（2025高三·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【解析】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件. 当时，，为奇函数，值域为R，满足条件. 当时，为偶函数，值域为，不满足条件. 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 二、多选题 7．（2025高一·福建漳州·期末）若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 【答案】BC 【分析】利用幂函数的性质一一判断求解即可. 【解析】根据幂函数的图象性质可知，当时，幂函数不经过点，故A错误； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为奇函数，B正确； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为偶函数，C正确； 当时，在单调递增， 所以，D错误， 故选：BC. 8．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】由幂函数的性质逐一判断各个选项即可求解. 【解析】A错误，当时，，此时的定义域为； B正确，当时，在上单调递增，所以； C正确，当时，，所以是偶函数； D错误，当时，，则，定义域不关于原点对称所以不是奇函数. 故选：BC. 9．（2025高三·海南月考）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D. 【解析】设幂函数 将点代入函数得：，则， 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确； 因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确； 当时，，即，所以C正确； 时， ， 所以，又， 所以成立，所以D不正确. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误. 三、填空题 10．（2025·宁夏银川·模拟预测）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质既可以求得. 【解析】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点. 故答案为： 11．（2025高一·全国月考）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 【答案】 0 【分析】由题意，设，结合的图象过点求出，进而可得，再根据单调性求解最值. 【解析】设，是常数，则， 解得，则， 所以，在区间上单调递增， 所以函数的最小值是，最大值是. 故答案为：0；. 12．（2025高一·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解. 【解析】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：，即，解得：， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13．（2025高三·广东月考）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】先设，根据题意得到，进而，利用换元法结合二次函数的性质即可求解. 【解析】设幂函数， 因为幂函数的图象经过点， 所以，因此, 所以， 所以，令，则，， ∴时，. 故答案为：## 四、解答题 14．（2025高一·福建月考）已知幂函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为偶函数． （1）求的值； （2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值． 【答案】（1）16（2）a=–1或a=–． 【分析】(1)根据幂函数定义求m，再根据偶函数性质进行取舍，最后求函数值，(2)根据幂函数定义域以及单调性列方程组，解得结果. 【解析】（1）函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为幂函数， ∴m2–5m+7=1， 解得m=2或m=3； m=2时，f（x）=x–3，不是偶函数，舍去； m=3时，f（x）=x–4，为偶函数，满足题意； ∴f（x）=x–4， ∴=16； （2）若f（2a+1）=f（a）， 则（2a+1）–4=a–4， 即， 解得a=–1或a=–． 【点睛】本题考查幂函数定义以及性质，考查基本求解能力. 15．（2025高一·福建龙岩·期中）已知幂函数是定义在R上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和函数为偶函数可直接求解； （2）可将问题转化为对恒成立，对进行分类讨论，分离参数，结合基本不等式即可求解. 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又函数为偶函数，故，； （2）原题可等价转化为对恒成立， 当时恒成立； 当时，分离参数得，即，由对勾函数图象特点可知在上单减，故，所以； 当时，分离参数得，由对勾函数图象特点可知在上单减，，所以， 所以 16．（2025高一·陕西铜川·期中）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上. （1）求和的解析式； （2）定义求函数的最大值以及单调区间. 【答案】（1），（2）1，单调增区间为，单调减区间为； 【解析】试题分析; （1）设代入点的坐标，解方程可得 的解析式； （2）由定义，求得 的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间． 试题解析;：（1）设 点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上 解得     解得分      （2） 的单调增区间为，的单调减区间为； 时，函数值最大， 【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，，解题时注意待定系数法以及数形结合思想的运用． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$