专题24.5 直线和圆的位置关系（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题24.5 直线和圆的位置关系（九大题型） 【题型1判定制断直线和圆的位置】......................................................................................1 【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】................................................................4 【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】.....................................................8 【题型5证明某直线是圆的切线】..........................................................................................9 【题型6切线的性质定理】...................................................................................................15 【题型7切线的性质和判定的综合应用】..............................................................................19 【题型8切线长定理】..........................................................................................................28 【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】................................................................32 【题型1判定制断直线和圆的位置】 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法是解题的关键． 按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，且， ∴直线l与的位置关系是相交， 故选：C． 2．已知圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切；当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离．解决本题的关键是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：圆的半径为，圆心到直线的距离为， 又， 圆心到直线的距离小于圆的半径， 直线与圆相交． 故选：A． 3．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解圆与直线的三种关系是解题关键．根据图形，结合圆与直线的位置关系判断即可． 【详解】解：由题意可知，、、的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点在上，则点P到直线l的距离不大于6，不符合题意； 若点在或上，点P到直线l的距离可以为8，符合题意； 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 5．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 6．平面内，与四条直线的位置关系如图所示，若的半径为，且点O到其中一条直线的距离为，则这条直线是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键． 根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当，则直线和圆相切；当，则直线和圆相交；当，则直线和圆相离，进行分析判断． 【详解】解：∵圆心O点到所求直线的距离半径， ∴此直线和圆相离， 观察图形发现：直线与相离， ∴这条直线是． 故答案为：． 【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 1．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 2．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 3．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 4．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 5．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 6．在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 1．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 2．已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可． 【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 【题型5证明某直线是圆的切线】 1．如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．判断与的位置关系，并证明． 【答案】与相切，理由见解析 【分析】本题主要考查同弧所对的圆周角相等，等边对等角，切线的判定等知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，切线的判定及三角函数是解题的关键． 连接，由题意得，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示：    ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 2．如图，已知是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查切线的证明，圆周角定理，根据半径相等得到，根据D为的中点，得到，再根据得到即可得到是的切线． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵D为的中点，即， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线． 3．如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，由等腰三角形性质可得，，又，则，所以，从而有，最后由切线的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 4．如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 5．如图，在中，，外接于．求证：是的切线 【答案】见解析 【分析】连接，由平行四边形和等腰三角形的性质可证，设，由圆周角定理得：，然后求出，根据切线的判定即可得出结论 【详解】证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定，圆周角定理是解决问题的关键． 6．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，再由互余定义得到，从而，即，从而判断是的切线． 【详解】证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【题型6切线的性质定理】 1．如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理以及勾股定理求解边长，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质可得切点为边的中点，利用中位线的性质可得圆的半径，由求解即可． 【详解】解：因为在中，， 所以， 因为在中，点O为的中点， 所以， 记切点为点E，连接，如图， 所以可知， 所以， 因为点O为的中点， 所以点E为的中点， 所以， 所以圆的半径为3，即， 所以， 即的长为2 ． 故选：D ． 2．如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理等知识，根据切线的性质得到即可得到根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 与的边相切于点， ， ， ， ， ； 故选：B． 3．如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵射线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 5．如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连结，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出及是解题的关键． 由，得，则，由切线的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型7切线的性质和判定的综合应用】 1．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 2．如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)是的切线；理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，，进而得到，证明，得到，根据切线的性质得到，从而，得证结论； （2）根据勾股定理求出，由，得到，得到，根据的面积求出，即可解答． 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接， ∵， ∴，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 是的切线， ， ， ， 是的切线； （2）解：的半径为，，， ， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ． 3．如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点F，先由切线的性质得，则由角平分线的性质得，即可证得结论； （2）过E作于G，先由勾股定理求出，再由面积法求出，然后由勾股定理求出，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接，过点D作于点F，如图所示： ∵与相切于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相切； （2）解：过E作于G，如图所示： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． 4．如图，点是菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据菱形的性质，切线的判定定理证明即可． （2）根据菱形的性质，证明是等边三角形，利用勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， 与相切于点． ，是的半径， 四边形是菱形， 平分， ， ， 与相切． （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， 在菱形中，，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，切线的判定和性质是解题的关键． 5．如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是半圆O的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）如图，连接；根据题意结合图形，证明，即可解决问题； （2）首先求出，进而求出的值；运用勾股定理求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴； 又∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点D在半圆O上， ∴是半圆O的切线． （2）解：由（1）知， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 6．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理，得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则，，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的长为16． 【点睛】本题考查了等边对等角、角平分线、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识.熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型8切线长定理】 1．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 2．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】此题主要是考查了切线长定理．设和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理得到，，所以的周长即是的值，求解即可． 【详解】解：设和圆的切点分别是P，N，M，Q，设， 根据切线长定理，得，， 则有， 解得：． 所以的周长． 故选：B． 3．如图，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先利用切线长定理，然后利用等线段代换得到的周长．本题考查了切线长定理：灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键． 【详解】解：∵分别是的切线， ∴， ∵分别为的切线， ∴， ∵分别为的切线， ∴， ∴三角形的周长． 故选：B． 4．如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．根据切线长定理可得，，，据此即可作答． 【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长 ． 故答案为：20． 【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 1．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 【答案】B 【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可． 【详解】设AF=acm， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF=AE，CE=CD，BF=BD， ∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm， ∵BD+CD=BC=14cm， ∴（9-a）+（13-a）=14， 解得：a=4， 即AF=4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想． 3．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 4．如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与 相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，连接，连接，根据条件证明，得到对应边相等，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用等面积法求出圆的半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于，连接， 四边形是正方形， ， 为的中点， ， 由折叠的性质可得，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，， 如图所示，连接 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ． ∴的半径为， 故选：A． 5．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 6．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    7．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5 ∴p6 ∴S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9 （1）用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径r． 【答案】（1）10；（2）r． 【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S即可求得S的值； （2）根据公式Sr（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p10， ∴S10； 故△ABC的面积10； （2）∵Sr（AC+BC+AB）， ∴10r（5+6+9）， 解得：r， 故△ABC的内切圆半径r． 【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线轴相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接、，根据勾股定理知，当时，值最小，即线段最短． 【详解】解：如图，连接、， 与相切， ∴, 由勾股定理得 为定值1， ∴当最小时，的值最小， 当时，值最小， ∵、， ∴, 为等腰直角三角形， 由勾股定理得, 根据等腰直角三角形的性质可得，， ∴， 故选：B． 3．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 24．如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 【详解】解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 5．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且 ． 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴ 或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 6．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 ． 【答案】，且k≠0． 【分析】根据直线与圆相交确定k的取值，利用面积法求出相切时k的取值，再利用相切与相交之间的关系得到k的取值范围. 【详解】∵交x轴于点A，交y轴于点B， 当，故B的坐标为（0,6k）; 当，故A的坐标为（-6,0）; 当直线y=kx+6k与⊙O相交时, 设圆心到直线的距离为h, 根据面积关系可得:   解得 ; ∵直线与圆相交,即 ,即 解得 且直线中, 则k的取值范围为：，且k≠0． 故答案为：，且k≠0． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于根据相交确定圆的半径与圆心到直线距离的大小关系. 7．已知四边形内接于，为的中点，过点作的切线，与的延长线相交于点．      (1)如图①，若经过点，，求的大小； (2)如图②，若经过点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用圆周角定理可得，进而由切线的性质得，再根据圆内接四边形的性质可得，最后根据弧、圆心角、弦的关系和等腰三角形的性质即可求解； （）连接，利用等腰三角形的性质和余角性质可得，进而可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，弧圆心角弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等，掌握以上知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.5 直线和圆的位置关系（九大题型） 【题型1判定制断直线和圆的位置】......................................................................................1 【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】................................................................2 【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】.....................................................3 【题型5证明某直线是圆的切线】..........................................................................................3 【题型6切线的性质定理】.....................................................................................................5 【题型7切线的性质和判定的综合应用】..............................................................................6 【题型8切线长定理】.............................................................................................................8 【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】................................................................9 【题型1判定制断直线和圆的位置】 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 2．已知圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 3．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 5．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 6．平面内，与四条直线的位置关系如图所示，若的半径为，且点O到其中一条直线的距离为，则这条直线是 ． 【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 1．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 4．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 5．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 6．在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 1．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【题型5证明某直线是圆的切线】 1．如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．判断与的位置关系，并证明． 2．如图，已知是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．求证：是的切线． 3．如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．求证：是的切线． 4．如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 5．如图，在中，，外接于．求证：是的切线 6．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．求证：是的切线． 【题型6切线的性质定理】 1．如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 4．如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则 ． 5．如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连结，若，则的度数为 ． 【题型7切线的性质和判定的综合应用】 1．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 2．如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 3．如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 4．如图，点是菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求菱形的边长． 5．如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是半圆O的切线． (2)若，，求的长． 6．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【题型8切线长定理】 1．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 2．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．如图，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 4．如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是 ． 【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 1．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 3．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 4．如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与 相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 5．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 6．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 7．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5 ∴p6 ∴S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9 （1）用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径r． 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为1（为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D．3 3．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 4．如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 5．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 6．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 ． 7．已知四边形内接于，为的中点，过点作的切线，与的延长线相交于点．      (1)如图①，若经过点，，求的大小； (2)如图②，若经过点，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$