专题01 一元二次方程【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题01 一元二次方程 一．一元二次方程的概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 注意： 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并（整理合并是指去分母、去括号、移项和合并同类项）”之后都是整式，如方程，都不是一元二次方程；定义中“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）”这句话，是指对方程“整理合并”之后而言的． 二．一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意： ①要确定一元二次方程的各项系数，必须先将一元二次方程化为一般形式，写项和各项系数时都包括它前面的符号． ②一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数． 三．一元二次方程的解（根） 1．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 2．判定一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解． 四．配方法解一元二次方程 1．一般地，对于方程． ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根：，； ②当时，方程有两个相等的实数根：； ③当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根． 2．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： ①当时，方程有两个不相等的实数根：，； ②当时，方程有两个相等的实数根：； ③当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根． 3．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①一移，移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ②二化，二次项系数化为1：左、右两边同时除以二次项系数； ③三配，配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； ④四开，开平方求根：利用平方根的定义直接开平方． 五．一元二次方程根的判别式 1．将配方成后，可以看出，只有当时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元二次方程根的情况． 2．一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 的符号 方程根的情况 注意 方程有两个不相等的实数根，即 ①应用根的判别式时要准确确定a，b，c的值； ②此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 方程有两个相等的实数根，即 方程无实数根 3．上面的结论，反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 六．公式法解一元二次方程 1．解一元二次方程时，可先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常用解法，并且适合于所有的一元二次方程． 2．用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出的值； ③当时，方程有两个不相等的实数根，即，；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根． 七．因式分解法解一元二次方程 1．通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 八．一元二次方程根与系数的关系 1．若一元二次方程有实数根，设这两个实数根分别为，，则，． 注意： ①根与系数的关系是在方程有根的前提下（即）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验是否非负． ②根与系数的关系的应用：不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；已知方程一根，求方程的另一根；与根的判别式相结合，解决一些综合题． 2．拓展：与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 九．列一元二次方程解应用题的一般步骤 1．审：审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系； 2．设：设未知数； 3．列：列方程； 4．解：解方程； 5．验：检验方程的解是否正确以及能否使实际问题有意义； 6．答：写出答案． 【专题过关】 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 5．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（ ） A．2 B． C．4 D． 6．一元二次方程的一般形式是 ． 7．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 三．由一元二次方程的定义求参数（共4小题） 8．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（ ） A．3 B． C． D．9 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A． B． C．2 D．不能确定 10．若关于x的方程（m为常数）是一元二次方程，则m的取值范围为 ． 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 四．一元二次方程的解（共6小题） 12．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A． B． C． D． 13．若是方程的一个解，则b的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 14．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 15．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ． 16．关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为 ． 17．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 五．直接开平方法解一元二次方程（共5小题） 18．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ） A． B． C． D． 19．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ） A． B． C． D． 20．若方程有解，则m的取值范围是 ． 21．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 22．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 六．配方法解一元二次方程（共7小题） 23．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（ ） A． B． C． D． 24．若关于x的一元二次方程的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（ ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 25．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ） A．18 B．20 C．19 D．17 26．已知方程，可以配方成的形式，那么a的值为 ． 27．把方程变形为的形式，其中h，k为常数，则k的值为 ． 28．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 29．用配方法解方程： （1）； （2）． 七．配方法的应用（共2小题） 30．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 31．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 八．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 32．利用判别式判断方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．有一个实数根 33．关于x的方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 34．关于x的一元二次方程的实数根情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 九．根据一元二次方程根的情况求参数（共4小题） 35．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A． B． C．1 D．4 36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A．2 B．1 C． D． 37．若关于x的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 38．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 十．公式法解一元二次方程（共2小题） 39．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 40．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 十一．因式分解法解一元二次方程（共6小题） 41．方程的解是（ ） A． B． C．， D．， 42．一元二次方程的解是（ ） A． B． C．， D．， 43．方程的解为 ． 44．解方程 （1）； （2）． 45．解方程 （1）； （2）． 46．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 十二．换元法法解一元二次方程（共3小题） 47．利用换元法解方程． 48．请运用“整体换元法”解方程： （1）； （2）． 49．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： （1）___________； （2），求___________； （3）已知，求． 十三．一元二次方程根与系数的关系（共8小题） 50．关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A． B．6 C．7 D． 51．若方程的两根为，，则的值为（ ） A． B．2 C．4 D．6 52．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 53．已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为 ． 54．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 55．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为，；小颖看 错了常数项c，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ． 56．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，求的值； （2）已知，且a，b满足，，求的值． 57．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 十四．一元二次方程的应用（共9小题） 58．根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 59．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 60．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 61．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有x人，则应列方程为 ． 62．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 63．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是 ． 64．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 65．某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 66．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米 隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若 最终每天实际总成本比计划多万元，求m的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 一．一元二次方程的概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 注意： 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并（整理合并是指去分母、去括号、移项和合并同类项）”之后都是整式，如方程，都不是一元二次方程；定义中“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）”这句话，是指对方程“整理合并”之后而言的． 二．一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意： ①要确定一元二次方程的各项系数，必须先将一元二次方程化为一般形式，写项和各项系数时都包括它前面的符号． ②一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数． 三．一元二次方程的解（根） 1．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 2．判定一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解． 四．配方法解一元二次方程 1．一般地，对于方程． ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根：，； ②当时，方程有两个相等的实数根：； ③当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根． 2．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有： ①当时，方程有两个不相等的实数根：，； ②当时，方程有两个相等的实数根：； ③当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根． 3．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①一移，移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ②二化，二次项系数化为1：左、右两边同时除以二次项系数； ③三配，配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； ④四开，开平方求根：利用平方根的定义直接开平方． 五．一元二次方程根的判别式 1．将配方成后，可以看出，只有当时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元二次方程根的情况． 2．一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 的符号 方程根的情况 注意 方程有两个不相等的实数根，即 ①应用根的判别式时要准确确定a，b，c的值； ②此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 方程有两个相等的实数根，即 方程无实数根 3．上面的结论，反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 六．公式法解一元二次方程 1．解一元二次方程时，可先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常用解法，并且适合于所有的一元二次方程． 2．用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出的值； ③当时，方程有两个不相等的实数根，即，；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根． 七．因式分解法解一元二次方程 1．通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 八．一元二次方程根与系数的关系 1．若一元二次方程有实数根，设这两个实数根分别为，，则，． 注意： ①根与系数的关系是在方程有根的前提下（即）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验是否非负． ②根与系数的关系的应用：不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；已知方程一根，求方程的另一根；与根的判别式相结合，解决一些综合题． 2．拓展：与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 九．列一元二次方程解应用题的一般步骤 1．审：审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系； 2．设：设未知数； 3．列：列方程； 4．解：解方程； 5．验：检验方程的解是否正确以及能否使实际问题有意义； 6．答：写出答案． 【专题过关】 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：A．当时，原方程化为：，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，有两个未知数，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含x且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 3．下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【解答】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除． ②方程含有分式，不是整式方程，排除． ③方程含有两个未知数x和y，是二元二次方程，排除． ④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除． ⑤方程符合一元二次方程的定义，正确． ⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确． 综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个． 故选C． 二．一元二次方程的一般形式（共4小题） 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B． 【解答】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 5．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B． 【解答】解： 移项得：， ∴一次项为，因此一次项系数是， 故选B． 6．一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】． 【解答】解： ， 整理得： 故答案为：． 7．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】2，，． 【解答】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 三．由一元二次方程的定义求参数（共4小题） 8．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（ ） A．3 B． C． D．9 【答案】B． 【解答】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，且， 解得或且， ∴， 故选：C． 10．若关于x的方程（m为常数）是一元二次方程，则m的取值范围为 ． 【答案】． 【解答】解：∵关于的方程（m为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 四．一元二次方程的解（共6小题） 12．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：A．当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B．当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C．当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D．当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 13．若是方程的一个解，则b的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B． 【解答】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 14．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】． 【解答】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2033． 【解答】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2033． 16．关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为 ． 【答案】． 【解答】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：． 17．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】． 【解答】解∵对于一元二次方程，设， ∴， 而关于x的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为：． 五．直接开平方法解一元二次方程（共5小题） 18．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：A. ，有解，不符合题意；     B. 即，有解，不符合题意； C.     即，有解，不符合题意； D. 即，负数，无解，符合题意； 故选：D． 19．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 20．若方程有解，则m的取值范围是 ． 【答案】． 【解答】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 21．已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 【答案】，． 【解答】解：， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 22．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【解答】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． 六．配方法解一元二次方程（共7小题） 23．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 24．若关于x的一元二次方程的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（ ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 【答案】B． 【解答】解：∵， ∴， 解得或， 即m的值为或， 故选：B． 25．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ） A．18 B．20 C．19 D．17 【答案】D． 【解答】解：， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 26．已知方程，可以配方成的形式，那么a的值为 ． 【答案】5． 【解答】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 27．把方程变形为的形式，其中h，k为常数，则k的值为 ． 【答案】4． 【解答】解： ， ∴， 故答案为：4． 28．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， 整理，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得， 解得，． （2）解：， 移项，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得，． 29．用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴， ∴，． 七．配方法的应用（共2小题） 30．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2），；（3）4． 【解答】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以，； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ∴， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 31．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2）；【探究】，理由见解析． 【解答】【应用】（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 八．根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 32．利用判别式判断方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．有一个实数根 【答案】A． 【解答】解：∵， ∴方程无实数根， 故选：A． 33．关于x的方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A． 【解答】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 34．关于x的一元二次方程的实数根情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B． 【解答】解：对于方程， ∴， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 故选：B． 九．根据一元二次方程根的情况求参数（共4小题） 35．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A． B． C．1 D．4 【答案】C． 【解答】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵选项中只有D选项满足， 故选：D． 37．若关于x的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】． 【解答】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 38．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 十．公式法解一元二次方程（共2小题） 39．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【解答】（1）解：, ∵，，， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （2）解：， ∵，，， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （3）解：， 整理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 40．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）． 【解答】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 十一．因式分解法解一元二次方程（共6小题） 41．方程的解是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C． 【解答】解： 或 解得：或， 故选：C． 42．一元二次方程的解是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C． 【解答】解： 则或， 解得：，， 故选：C． 43．方程的解为 ． 【答案】，． 【解答】解：原方程可化为， 分解因式得， 即或， ∴，． 44．解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 45．解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， 移项得， 解得，． （2）解：， 移项，得， 提取公因式，得， 解得，． 46．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【解答】（1）解：， ， ， ∴， 解得． （2）解： ， ∴或， 解得，． 十二．换元法法解一元二次方程（共3小题） 47．利用换元法解方程． 【答案】，． 【解答】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 48．请运用“整体换元法”解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），，，． 【解答】（1）解：设， 则原方程可化为，解得，． 当时，，∴； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 综上所述，原方程的解为，，，． 49．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： （1）___________； （2），求___________； （3）已知，求． 【答案】（1）；（2）9；（3）． 【解答】（1）解：； （2）解：， ， ， ∵， ∴； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ∴． 十三．一元二次方程根与系数的关系（共8小题） 50．关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A． 【解答】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：， 解得， 故选：A． 51．若方程的两根为，，则的值为（ ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B． 【解答】解：∵方程 的两根为和， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 52．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】D． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 53．已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，可知，方程的两根之和为2， ∵关于x方程的一个根为4， ∴方程的另一个根为； 故答案为：． 54．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 【答案】3． 【解答】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把a，b看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：3． 55．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为，；小颖看 错了常数项c，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】． 【解答】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为，； ∴； ∵小颖看错了常数项c，得到的解为，． ∴， ∴． ∴正确的一元二次方程为． 故答案为：． 56．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，求的值； （2）已知，且a，b满足，，求的值． 【答案】（1）2；（2）． 【解答】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴； （2）解：∵a，b满足，，， ∴a和b可看成是方程的两个根． ∴，， ∴. 57．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）且；（2）． 【解答】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 十四．一元二次方程的应用（共9小题） 58．根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：设年平均增长率为x，2022年的产量为68653万吨，则2023年的产量为万吨，2024年的产量在此基础上再增长x，即万吨． 根据题意，2024年的实际产量为70650万吨，因此方程为． 故选A． 59．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C． 【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 60．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】． 【解答】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 61．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有x人，则应列方程为 ． 【答案】． 【解答】解：设这个小组有x人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 62．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6． 【解答】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6． 63．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是 ． 【答案】． 【解答】解：两年前有家作物种子81种， ∵这两年培育新品种数量平均年增长率为x， ∴第一年后有农作物种子种， 第二年后（即现在）有农作物种子种， ∵现在有100种农作物种子， ∴可得：， 故答案为：． 64．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 【答案】6． 【解答】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 65．某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【答案】（1）该农户这一天销售的总收入为4000元；（2）在县城内销售单价应该降价3元． 【解答】（1）解：（元）， 答：该农户这一天销售的总收入为4000元； （2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得： ， ， ， ， 解得或． 当时，销售量为； 当时，销售量为， 因为要扩大销售，， 故． 答：在县城内销售单价应该降价3元． 66．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米 隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若 最终每天实际总成本比计划多万元，求m的值． 【答案】（1）甲最多施工900米；（2）2． 【解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：m的值为2． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$