4.3.2等比数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 §4.1 数列的概念 §4.2 等差数列 §4.3 等比数列 §4.4* 数学归纳法 索引 选择性必修 第二册 1 4.3.2 等比数列的前n项和公式 设等比数列{ an }的首项为a1，公比为q，则{ an }的前n项和是 ① ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，即①-②得 索引 §4.3 等比数列 注意：（1）等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q = 1与q ≠ 1两种情况讨论求解。 （2） ，为关于qn的指数型函数，且系数与常数互为相反数。 索引 §4.3 等比数列 【例8】在前项和为的等比数列中, ,,则 ( ) B A.80 B.85 C.90 D.95 【解析】 设公比为,则, , 解得,（已知，，，且时选用公式 ） . 索引 §4.3 等比数列 4 【例9】已知数列是递增的等比数列,其前 项和为.若,, 则 ( ) B A. B. C.或 D.或 【解析】 首项和公比 都未知,需根据条件建立方程组求解. 由等比数列递增知公比且,则①, ②,得,解得 舍去,所以,所以 . 索引 §4.3 等比数列 5 【例10】（多选）已知等比数列的前项和为,若,则数列 的公比可能 是( ) AB A.1 B. C.3 D. 【解析】 题中没有公比的信息,需讨论与 两种情况. 若公比,则 ,满足题意； 若公比,由,得,解得 . 综上,或 . 索引 §4.3 等比数列 6 有关等比数列前n项和公式的性质及推论： （1）其他衍生等比数列 已知{ an }为等比数列，q为公比，Sn为该数列的前n项和。 ①ak，ak+m，ak+2m，…为等比数列，公差是qm； Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…为等比数列，公差是qn；（当q=-1时，m不为偶数） 索引 §4.3 等比数列 索引 §4.3 等比数列 索引 §4.3 等比数列 ②若a1a2…an = Tn，则 为等比数列 索引 §4.3 等比数列 【例11】在正项等比数列中,为其前项和,若, ,则 的值为( ) B A.50 B.70 C.90 D.110 【解析】 由等比数列的片段和性质知,, 成等比数列,所以 , 所以,解得 . 索引 §4.3 等比数列 11 【例12】已知数列是等比数列,为其前 项和,若,, 则 ( ) D A.27 B.39 C.81 D.120 【解析】 由题知,.已知, ,求 ,考虑用等比数列的片段和性质. 因为,,,成等比数列,且,,所以 , ,所以 . 索引 §4.3 等比数列 12 【例13】在等比数列中,前项和为,, ,则 ( ) C A.22 B.210 C.640 D.2 560 【解析】设等比数列的公比为,易知 ,由【大招15】性质3（和比公式）得 ,则 ,由【大招15】性质4得 , ,则 . 索引 §4.3 等比数列 13 索引 第四章 数列 $$