18.5 分式方程 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.5　分式方程 第1课时　分式方程及其解法 1.理解分式方程的概念. 2.了解解分式方程的基本思路和解法. 3.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的检验方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解分式方程可能无解的原因. 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相等.设江水的流速为xkm/h，根据题意可列方程为　　　　　　. ＝ 这个方程是我们以前学过的吗？它与一元一次方程有什么区别？ 探究点一　分式方程的定义 【例1】在方程x＋＝2，＝，－＝4，x－2＝0，＝，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？ 【解析】利用整式方程与分式方程的区别解答. 【解】方程x＋＝2，＝，－＝4，＝是分式方程. 方程x－2＝0，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）是整式方程. 【方法总结】要判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数. 探究点二　解分式方程 类型一　直接解分式方程 【例2】解分式方程： （1）－＝4. （2）－＝1. 【解析】（1）方程的两边同乘2x，把分式方程化为整式方程；（2）方程的两边同乘x2－1，把分式方程化为整式方程.注意不要漏乘. 【解】（1）方程两边都乘2x， 得600－480＝4×2x， 解得x＝15. 检验：当x＝15时，2x≠0， ∴x＝15是原分式方程的解. （2）方程两边都乘（x＋1）（x－1）， 得（x＋1）2－4＝（x＋1）（x－1）， 解得x＝1. 检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0， ∴x＝1不是分式方程的解，原分式方程无解. 【方法总结】解分式方程的关键是找分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出整式方程的解，最后把解代入最简公分母进行检验. 类型二　根据分式方程的解的情况求字母的范围 【例3】关于x的方程＝－1的解是正数，则a的取值范围是　　　　　　. 【解析】根据解分式方程的步骤可得，分式方程的解为x＝. ∵方程的解是正数，∴x＞0且x≠2，即＞0且≠2，解得a＞－1且a≠－. 【解】a＞－1且a≠－ 【方法总结】先求出分式方程的解，再根据条件和隐含条件求出a的取值范围. 1.关于x的分式方程＝1的解为正数，则a的取值范围为（　　） A.a≥－1 B.a＞－1 C.a≤－1 D.a＜－1 2.解方程：＋＝－1. 第1课时　分式方程及其解法 1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2.解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. 3.解分式方程的一般步骤： （1）去分母——将方程两边同乘最简公分母； （2）解整式方程； （3）检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 本节课学习了分式方程的概念和分式方程的解法. 　　本节课学习了分式方程的概念和解法.要给学生留思考的时间和更多的思维空间，让学生把分式方程和整式方程区分开，再由学生通过动手动脑来获得知识.教师主要在做题方法上指导，思维方式上点拨，让学生明白解分式方程实际上是解整式方程以及理解验根的原因.教师要把本节课的重点内容（解分式方程的思路，步骤，如何检验等）用多媒体形式给学生展示出来，还要向学生强调在解分式方程过程中容易出现的问题. 答案 课堂训练 1.B 2.解：去分母，得－（x＋2）2＋16＝4－x2， 去括号，得－x2－4x－4＋16＝4－x2， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，（x＋2）（x－2）＝0， ∴x＝2不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　用分式方程解决实际问题 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. 3.培养学生的创新精神，让学生从中获得成功的体验. 重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型； （2）根据实际意义检验解的合理性. 难点：依据实际问题构建分式方程模型. 1.解分式方程的基本思路是什么？ 分式方程整式方程 2.解分式方程有哪几个步骤？ 一化二解三检验 3.验根有哪几种方法？ 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种是代入原分式方程.通常使用第一种方法. 4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有4种类型： （1）行程问题：路程＝速度×时间，以及它的两个变式； （2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题：工作量＝工作时间×工作效率，以及它的两个变式； （4）利润问题：打折销售价＝售价×（打折数÷10）；销售利润＝销售收入－成本；销售利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100％. 探究点　分式方程的应用 类型一　列分式方程解决工程问题 【例1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3h才能完成.现甲、乙两队合作2h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成.甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？（列方程解答） 【解析】关键描述语为“甲、乙两队合作2h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成”；等量关系为甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成全部工程需要的时间＝1. 【解】设甲队单独完成全部工程需要xh，则乙队单独完成全部工程需要（x＋3）h. 由题意，得＋＝1， 解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合实际， ∴x＋3＝9. 答：甲队单独完成全部工程需要6h，乙队单独完成全部工程需要9h. 【方法总结】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决分式方程的应用问题的关键.本题需注意乙工作的时间正好是甲单独完成这项工程的时间. 类型二　列分式方程解决行程问题 【例2】为了响应“倡导绿色出行，从身边做起”，小李将上班方式由自驾改为骑共享单车.他从家到上班地点，自驾要走的路程为8.4km，骑共享单车要走的路程为6km.已知小李自驾的速度是骑共享单车速度的2.4倍，他由自驾改为骑共享单车后，时间多用了10min.小李自驾和骑共享单车的速度分别为多少？ 【解析】设骑共享单车的速度为xkm/h，则自驾的速度是2.4xkm/h.根据“骑共享单车时间－自驾时间＝10min”列分式方程求解即可. 【解】设骑共享单车的速度为xkm/h，则自驾的速度为2.4xkm/h. 根据题意，得－＝， 解得x＝15. 经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合实际， ∴2.4x＝2.4×15＝36. 答：小李自驾的速度为36km/h，骑共享单车的速度为15km/h. 【方法总结】由实际问题抽象出分式方程.解答本题的关键是读懂题意，设未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程. 1.货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20km，求两车的速度.设货车的速度为xkm/h，依题意列方程正确的是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2.某服装厂接到一份加工3000件服装的订单，应客户要求，需提前供货.该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工.该服装厂原计划每天加工多少件服装？ 第2课时　用分式方程解决实际问题 列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审：分析题意，找出数量关系和相等关系. 2.设：根据所找的等量关系设出未知数. 3.列：根据数量和相等关系，正确列出方程. 4.解：求出方程的解. 5.验：有两次检验.①是否是所列方程的解；②是否满足实际意义. 6.答：注意单位和语言完整. 本节课学习了分式方程的实际应用题，要会找等量关系. 　　分式方程是中考的热点内容，也有一定的难度.第一步先找等量关系，可以从一些常规题目入手，再给学生呈现不同类型的题目，不断总结解题方法和思路，直到学生能够独立地列出方程，同时还要给学生提一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰时，就放手让学生做，以提高学生分析问题、解决问题的能力. 答案 课堂训练 1.C 2.解：设该服装厂原计划每天加工x件服装，则实际每天加工1.5x件服装. 根据题意，得－＝10， 解得x＝100. 经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意. 答：该服装厂原计划每天加工100件服装. 学科网（北京）股份有限公司 $$