专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 2．（2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 例2（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 例4（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 例5（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    例2（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 例3已知：如图，在中，为的角平分线，相交于点． (1)如图1，若，则的度数为 ． (2)如图2，过点作，交延长线于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点，连接交于点，，：，，若，，求的长． 例4（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，的平分线交于点D，，若，则线段的长度是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 7．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    9．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． (3)【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 11．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于，求证：． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法． (1)如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：； (2)如图2，在中，，，平分，求证：； (3)如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的平行线，分别交，于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 14．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F． (1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； (2)若，求证：． 15．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，于，的平分线交于，交于，于． (1)若，，求的长； (2)证明：． 16．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 17．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程． (3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 18．（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 19．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点，若，求的长． 20．（24-25八年级上·山西大同·期中）八年级某班同学在解题的过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法，具体方法如下： 题目：在中，，求作：． 方法一：如图1所示，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，连接，可得． 方法二：如图2所示，作的平分线和的外角的平分线，两平分线交于点，可得． 任务： (1)填空：“方法一”依据的数学定理或推理是 （写出一个即可）． (2)请根据“方法二”的操作过程，证明：． (3)如图3，在中，，请用尺规作图作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 21．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 22．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； 过点H作于点G，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 例2（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义， 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，再根据直角三角形的性质得，然后根据题意可知，进而求出，则答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵与互为“完美关联角”， ∴， 即或， 解得或． 在中，或． 故答案为：或． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到 ，，于是得到，，代入数据即可得到结论． 本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 例4（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 例5（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识带你，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定可得即可证明结论； （2）同（1）可得，然后根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据角平分线的性质和判定证得是的平分线，即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． （3）解：过点O分别作于M，于N， ∵和的平分线相交于点，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线的性质；作 于，利用角平分线的性质证得，由的三边长，根据三角形的面积公式得 ，代入数值计算即可求得的值． 【详解】解：作 于 ，    是 的角平分线， 于点 ， ， 为直角三角形，，，， ， 故答案为 例2（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 例3已知：如图，在中，为的角平分线，相交于点． (1)如图1，若，则的度数为 ． (2)如图2，过点作，交延长线于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点，连接交于点，，：，，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算，解二元一次方程组，三角形等面积法等，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据角平分线得出，确定，再由三角形内角和定理即可求解； （2）设，利用三角形内角和定理得出，，即可证明； （3）根据题意得出，利用三角形内角和定理得出①，再由已知条件确定②，解方程组确定，得出，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵：：7，， ∴， ∵， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴，② 联立①②， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例4（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型． （1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可． （2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可． 【详解】（1）根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ， E是的中点， ， ． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，、 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小， 当时，最小， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故的最小值为4． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，，从而证明，从而求出的周长即可． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由角平分线的性质推出，得到，而，得到，由等腰三角形三线合一的性质推出垂直平分，只有当时，，由三角形面积公式即可得到． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴垂直平分，故②符合题意； 如果， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 但和不一定相等，故③不符合题意； ∵的面积，的面积，， ∴，故④符合题意， ∴正确的是①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、根据在中，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵是平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即是等腰三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∴等腰三角形有，，； 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A．是的平分线 B． C．点D在的中垂线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，先求得，先根据作图痕迹得到是的平分线，再根据等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质得到，，进而根据线段垂直平分线的判定可得点D在的中垂线上，进而可逐项判定可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得是的平分线，故A正确，不符合题意； 则， ∴，，即点D在的中垂线上， ∴选项B、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，的平分线交于点D，，若，则线段的长度是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识点，先根据的平分线交于点D得出，再由得出，故可得出，进而得出结论，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解决此题的关键． 【详解】∵的平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵于于， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． (3)【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)9． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，通过（1）中证明角平分线的性质定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明； （2）同（1）法可得：，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，即：，则； （3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， 平分，， 同（1）法可得：， ，， ∵， ， 又，， ， ， ，， ，即：， ； 故答案为：； （3）过点作，交于点， 平分交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 11．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等角对等边，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据角平分线的作法，作出的平分线； （2）根据等角的余角相等可得，根据角平分线的定义可得，进而证明，根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：如图 ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法． (1)如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：； (2)如图2，在中，，，平分，求证：； (3)如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)13 【分析】（1）由题意易得，然后易证，进而问题可求证； （2）在上截取，连接，由题意易得，，则有，然后可得，则根据三角形外角的性质可得，然后可得，进而问题可求证； （3）在上分别截取，，连接、，同理（1）（2）可证，，则有，，然后可得，进而可得是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：射线平分， ， ，， ， ． （2）证明：在上截取，连接，如图所示． ，，平分， ，． ， ， ，． ， ， ， ． ， ． （3）解：在上分别截取，， 连接，，如图所示． 同理（1）（2）可得，， ，，，． 为边的中点，， ． ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的平行线，分别交，于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）以O为顶点，在是左侧作，与相交于M，反向延长交即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，然后根据等角对等边得出，，最后根据线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）解∶如图，即为所求， ； （2）解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F． (1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过作的垂线交于，则即为所求； （2）分别证明，，可得，可得，结合角平分线的性质可得， 可得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）证明：∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知是的高，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作垂线，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练的利用等角对等边，角平分线的性质解题是关键． 15．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，于，的平分线交于，交于，于． (1)若，，求的长； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由角平分线的性质可得，，再根据直接三角形的性质可得，即得，进而即可求解； （）由（）可得，再根据余角性质可得，即得，得到，进而即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 16．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得到，由折叠的性质可知，则， 可以得到，由此即可得到答案； （2）延长交延长线于点F，同（1）可证，然后证明得到，即可得到． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示，延长交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（三线合一定理）．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 17．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程． (3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，，进而可得，，然后根据线段间的和差关系即得结论； （）同理（）解答即可； （）同理（）可得，，再根据线段间的和差关系即可得到结论； 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，仍然成立，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 18．（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据题意，得到点是的三条角平分线的交点，再根据，得到点为的三边中垂线的交点即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】解：（1）由题干可知，点是的三条角平分线的交点， ∵， ∴点到三个顶点的距离相等， ∴点为三边的垂直平分线的交点，（到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上）； 故答案为：②，①； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 19．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用角平分线和三角形内角和定理得出，即可得，，再证是等边三角形，则，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·山西大同·期中）八年级某班同学在解题的过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法，具体方法如下： 题目：在中，，求作：． 方法一：如图1所示，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，连接，可得． 方法二：如图2所示，作的平分线和的外角的平分线，两平分线交于点，可得． 任务： (1)填空：“方法一”依据的数学定理或推理是 （写出一个即可）． (2)请根据“方法二”的操作过程，证明：． (3)如图3，在中，，请用尺规作图作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查角平分线的性质，外角的性质，熟练掌握尺规作图是解题的关键； （1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解； （2）根据角平分线的性质，外角的性质即可求解； （3）根据题意，作以为圆心，为半径画弧交于点，根据等腰三角形的底角相等，即可求解，作图即可； 【详解】（1）， ， ∵， ∴， 即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）证明：，分别平分，， ，， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ； （3）解：如图所示，即为所求作的角； ， 以为圆心，为半径画弧交于点， ， ， 21．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线性质及判定，内角和定理，全等性质及判定，等边三角形性质． （1）过点作，，，利用角平分线性质即可得到，，再利用角平分线判定即可得到本题答案； （2）作于，利用等边三角形性质得，，即可得到本题答案； （3）设，作于，于，于，利用三角形内角和定理得，再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为， ， ∵在的平分线上， ∴， ∵在的平分线上， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵为等边三角形，平分， ∴，同理， 作于， ， ∵平分，， ∴，同理， ∴， ∴； （3）解：成立，理由如下： 设，作于，于，于，则点在线段上，点在线段上， ， ∵和的平分线，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①3；②21 【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， （2）证明：平分， ， ，， 而， ； （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$