第07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 知识点1：弧长和扇形面积的计算 知识点2：圆内正多边形的有关计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【题型1求弧长】 【典例1】已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ． 【变式3】已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为 ． 【题型2求扇形半径】 【典例2】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【变式1】如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【变式2】若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半径 ． 【题型3求圆心角】 【典例3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 【变式2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【题型4求某点的弧形运动路径长度】 【典例4】一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为 ． 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【变式3】如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【题型5求扇形面积】 【典例5】如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式2】半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 【变式3】如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【题型6求图形旋转后扫过的面积】 【典例6】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 【变式3】如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． (1)画出，并写出的坐标． (2)求线段扫过的区域的面积． 【题型7求弓形面积】 【典例7】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【变式3】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【题型8求圆锥侧面积】 【典例8】一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 ． 【变式3】如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 【题型9求圆锥底面半径】 【典例9】用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【变式3】将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】 【典例10】若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【变式1】若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【变式2】圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 【变式3】圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °． 一、单选题 1．如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 3．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 5．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 6．如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．圆心角为，半径为1的扇形的弧长是 ． 8．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 9．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 10．如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 12．如图，在平面直角坐标系中，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的； (3)在（2）条件下，求线段所扫过的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 知识点1：弧长和扇形面积的计算 知识点2：圆内正多边形的有关计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【题型1求弧长】 【典例1】已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 【变式1】如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径，再根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 【变式2】如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 的半径是3， 弧的长为， 故答案为：． 【变式3】已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．直接利用弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：弧长为． 故答案为：． 【题型2求扇形半径】 【典例2】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 【变式1】如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 【变式2】若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半径 ． 【答案】30 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，利用弧长公式直接将已知数据代入求出即可．熟练掌握弧长公式是解题关键． 【详解】解：弧长为的扇形的圆心角为， 即， 解得：， 则扇形的半径为． 故答案为：30． 【题型3求圆心角】 【典例3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是， 故选：B． 【变式1】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解答本题的关键． 设圆心角为，根据扇形的弧长公式列式解答即可． 【详解】解：设圆心角为， 由题意，得， 解得：， 该扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式． 【详解】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型4求某点的弧形运动路径长度】 【典例4】一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，求弧长，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，根据旋转的性质推出为等边三角形，求出，即旋转角为60度，进行利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：旋转角为， ∴， ∴点D走过的长度为为； 故选A． 【变式1】将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、旋转性质，根据弧长公式（r为扇形半径，n为扇形圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴点A经过的路径长度为， 故答案为：． 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 【变式3】如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 【题型5求扇形面积】 【典例5】如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为，由弧长公式求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 【变式2】半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据扇形面积的具体应用，解题关键是熟练掌握公式． 根据扇形面积，把数据代入计算即可解答． 【详解】解： ， ∴的圆心角所对的扇形的面积为． 故答案为：． 【变式3】如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【详解】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 【题型6求图形旋转后扫过的面积】 【典例6】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 【变式1】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)线段扫过的图形面积为． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式，熟练掌握旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式是解题的关键． （）在平面直角坐标系中找到点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，然后连接、和，即可求解； （）根据图形旋转的作法作图即可，然后写出点的坐标即可； （）先根据勾股定理得出，再由扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图， 由（）可知，可得线段扫过的图形为扇形， ∵，， ∴线段扫过的图形面积． 【变式3】如图，在中，点A、B、C的坐标分别是，将绕点O顺时针旋转得到． (1)画出，并写出的坐标． (2)求线段扫过的区域的面积． 【答案】(1)图见详解， (2)． 【分析】本题考查了旋转作图以及勾股定理，扇形面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质，找出点，再依次连接，得，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，，再运用扇形扇形，得出线段扫过的区域的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ∴． （2）解：依题意，，， 线段扫过的区域的面积． 【题型7求弓形面积】 【典例7】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 【变式1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 【变式2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 【变式3】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【题型8求圆锥侧面积】 【典例8】一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给出的母线长和底面半径代入公式进行计算，从而得出做遮阳伞所需布料的面积．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥侧面积公式（其中是底面半径，是母线长）是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式为（其中是底面半径，是母线长），底面半径米，母线长米 ∴圆锥侧面积（平方米） 故选：D． 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：底面圆的周长为， 底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长， ∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为， 故选：B． 【变式2】已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积底面圆周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积：． 故答案为：． 【变式3】如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据圆锥侧面积公式，即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得，解得 所以该圆锥体的侧面积． 故答案为：． 【题型9求圆锥底面半径】 【典例9】用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的关系． 圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关系即可求解． 【详解】解：由扇形面积与弧长的关系得， ， 解得， 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得， ， 解得， 故选：A． 【变式1】将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，结合已知条件直接求解底面半径即可. 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长（即展开后扇形的半径），题目中给出扇形的面积为，母线长，代入公式得： 解得， 因此，圆锥的底面半径为， 故选：D 【变式2】用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥底面周长和弧长的关系．关键在于明确圆锥底面周长与扇形弧长的关系，通过正确计算弧长并建立方程即可求解． 【详解】解：扇形弧长： ， 设圆锥底面半径为，依题意得，， 解得，， 故答案为：． 【变式3】将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】 【典例10】若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【答案】160 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【详解】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 【变式1】若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵底面圆的周长是， ∴圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数为n度，母线长是，则， 解得：； 故答案为：． 【变式2】圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度． 【答案】120 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角；根据扇形弧长计算公式即可求解． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n度， 由勾股定理得圆锥底面圆的半径为：， 由题意得：， 解得：； 故答案为：120． 【变式3】圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °． 【答案】144 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．设其侧面展开扇形的圆心角为度，则，代入数据即可求解． 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度， 由题知，， 解得， ∴其侧面展开扇形的圆心角为． 故答案为：144． 一、单选题 1．如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 2．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为，再由弧长公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为， 的长为， 故选：A． 3．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 4．如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，弧长公式，得到是直角三角形是解答关键． 连接，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，再利用弧长公式求解． 【详解】解：连接，，如下图 ， 的半径为4， 即． ，， ， 是直角三角形， 即， 劣弧的长为． 故选：C． 5．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 6．如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，求出,，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵等边是的内接三角形， ∴, ∵，， ∴，， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 7．圆心角为，半径为1的扇形的弧长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：． 8．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 9．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 由底面直径求半径；用勾股定理求母线长；代入侧面积公式得结果． 【详解】圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）． 由底面直径为，得底面半径； 圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理： ； 因此，侧面积为． 故答案为：． 10．如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于O点， 由条件可知是直径， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的； (3)在（2）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转与中心对称，求扇形面积，两点间的距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据网格的特点和旋转方式可确定的位置，描出，并顺次连接即可； （3）线段所扫过的面积是扇形的面积，由两点距离计算公式可得，由旋转的性质可得，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，线段所扫过的面积是扇形的面积， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段所扫过的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$