第02讲 解一元二次方程（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第02讲 解一元二次方程 知识点1：解一元二次方程-直接开方 知识点2：解一元二次方程-配方法 知识点3：解一元二次方程-公式法 知识点4：解一元二次方程-因式分解法 知识点5：一元二次方程的根与系数关系 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或． 所以该方程组的解为：或． 【变式1】解方程． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：原方程可变形为． ∵是1的平方根， ∴． 解得，． 【变式2】用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式3】解下列方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：整理得， ∴， 即或， 解得：或． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 【变式1】用适当的方法解下列一元二次方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 【变式2】用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 【变式3】用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型3 根据一元二次方程判断根的情况】 【典例3】一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式1】方程 的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：C． 【变式2】一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，再求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式3】下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； B、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； C、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； D、，故该一元二次方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例4】若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键； 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围． 【详解】解：对于方程，其判别式为：， 方程有实数根需满足，即：， 解得； 故选：D． 【变式2】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：或． 故选：D． 【变式3】已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【题型5 解一元二次方程-公式法】 【典例5】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出，再由求根公式，即可求解；选用恰当的方法解方程是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 【变式1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 ， 【变式2】用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 【变式3】解方程：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型6 解一元二次方程-因式分解法】 【典例6】解方程 (1) (2) 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）分解因式为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 解得：，； （2）解：整理，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 【变式1】解方程： 【答案】， 【分析】本题可通过因式分解的方法，将二次方程转化为两个一次方程来求解，即把左边因式分解为，再令每个因式等于，解一次方程得到原方程的解 ．本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法（如十字相乘法 ）将二次方程转化为一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∴， 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：因式分解，得， ∴或， 解得，． 【变式3】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【题型7 根与系数的关系】 【典例7】已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键．根据根与系数的关系（韦达定理）可直接求出根的和与积，进而代入表达式计算即可． 【详解】解：由方程可知，根的和， 根的积， 将和代入， 得：． 故选：D． 【变式1】若关于的一元二次方程的两个解是，，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了一元二次方程的解．先根据分别是关于的一元二次方程的两个根，得，再利用整体代入的方法计算． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个根是，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由根与系数的关系得到，再把所求式子通分后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 一、单选题 1．利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 3．一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键； 根据一元二次方程的判别式进行解答即可. 【详解】解：因为方程的判别式， 所以一元二次方程无实数根； 故选：B. 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B．4 C．4或 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∴实数的值为或， 故选：C ． 二、填空题 5．已知是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据直接求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：4． 6．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算是关键． 根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可． 【详解】解：， ∴或， ∴， 故答案为： ． 7．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 8．已知二元一次方程的两根之积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则．据此求解，即可解题． 【详解】解：设，为方程的两个根， ，即 ∴ 故答案为：． 9．设是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ； 故答案为． 三、解答题 10．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可． （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用配方法求解即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，； （3） 或 解得，； （4） 解得，． 11．已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)当取何值时，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握根的判别式． （1）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； （2）根据关于的方程的根的判别式的取值范围，来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得，， 所以方程为： ∴ 所以，方程的另一个根为； （2）解： 解得，， 当时，方程总有实数根． 12．已知是关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若总是方程的一个根，求的值及另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）当时，原方程为一元一次方程，有解，符合题意；当时，利用判别式证明即可； （2）把代入原方程求出a的值，再利用根与系数的关系求出方程的另一根即可． 【详解】（1）证明：当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根，符合题意； 当时，则，此时原方程有两个不相等的实数根， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵总是方程的一个根， ∴， 解得， 则由根与系数的关系可得方程的另一个根为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 知识点1：解一元二次方程-直接开方 知识点2：解一元二次方程-配方法 知识点3：解一元二次方程-公式法 知识点4：解一元二次方程-因式分解法 知识点5：一元二次方程的根与系数关系 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】解方程： 【变式1】解方程． 【变式2】用适当的方法解方程： 【变式3】解下列方程：． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】解方程： 【变式1】用适当的方法解下列一元二次方程：． 【变式2】用配方法解方程：． 【变式3】用配方法解方程：． 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型3 根据一元二次方程判断根的情况】 【典例3】一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】方程 的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【变式2】一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式3】下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例4】若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【变式3】已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【题型5 解一元二次方程-公式法】 【典例5】解方程：． 【变式1】解方程：． 【变式2】用公式法解方程． 【变式3】解方程：． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型6 解一元二次方程-因式分解法】 【典例6】解方程 (1) (2) 【变式1】解方程： 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程：． 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【题型7 根与系数的关系】 【典例7】已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【变式1】若关于的一元二次方程的两个解是，，则的值是 【变式2】若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式3】若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 一、单选题 1．利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 3．一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．有实数根 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B．4 C．4或 D．16 二、填空题 5．已知是一元二次方程的两根，则 ． 6．方程的根是 ． 7．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 8．已知二元一次方程的两根之积为，则 ． 9．设是方程的两个实数根，则的值为 ． 三、解答题 10．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)当取何值时，方程总有实数根． 12．已知是关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若总是方程的一个根，求的值及另一个根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$