专题24.2 圆-垂径定理（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题24.2 圆-垂径定理（五大题型） 【题型1利用垂径定理求值】..............................................................................................1 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】.................................................................................7 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】...................................................................................12 【题型4利用垂径定理求解其他问题】..................................................................................17 【题型5垂径定理的实际应用】..............................................................................................25 【题型1利用垂径定理求值】 1．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答关键． 连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接OC， ，， ，． ， ，， ， ． 故选：C． 2．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可． 【详解】在中，， ∴， 在中，， ∴的直径为， 即最长的弦长是． 故选：D． 4．如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 过点O作于点D，连接，根据垂径定理求出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：过点O作于点D，连接， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 7．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 【答案】 【分析】该题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，连接，过点作，结合弦 ，证出四边形是矩形，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，得出，勾股定理求出，垂径定理得出． 【详解】解：连接，过点作， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的长为8，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】 1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 2．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm． 【答案】7或17/17或7 【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离． 【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1 过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF-OE=7 ②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2 过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF+OE=17 故答案为：7或17． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论． 3．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为 ． 【答案】2或14/14或2 【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8，再利用勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8， 在Rt△AOE中，OE＝＝8， 在Rt△OCF中，OF＝， 当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14， 当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2， ∴AB、CD之间的距离为2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用． 4．⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ． 【答案】1cm或7cm． 【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm． 【详解】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵OE过圆心，OE⊥AB， ∴EB＝AB＝3cm， ∵OB＝5cm， ∴EO＝4cm， 同理，OF＝3cm， ∴EF＝4-3=1cm， 当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm， ∴EF＝1cm或EF＝7cm． 故答案为：1cm或7cm． 【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．关键是能正确求出符合条件的两种情况． 5.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 4．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型4利用垂径定理求解其他问题】 1．下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题． 【详解】解：∵是的直径，弦， 由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知， ∴，故A正确；， ∴，故D正确； ∵，， ∴，故C正确； 故选：B． 【点睛】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用． 3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断． 【详解】 解：可以运用垂径定理解决问题的图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 5．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（    ）    A．120° B．125° C．130° D．145° 【答案】A 【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，    ∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O， ∴OD=OE， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴OD∥BC， ∵OA=OB， ∴OD=BC， ∴BC=OE=OB=OC， 是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠AOC=120°， 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 6．如图，的半径为5，弦，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（     ）   A．6.5 B．5.5 C．3. D．2.5 【答案】C 【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到OP的范围为3≤OP≤5，然后对各选项进行判断． 【详解】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝4， 在Rt△OAH中，OH＝， 所以OP的范围为3≤OP≤5． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，解题关键是过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形． 7．如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 8．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ． 【答案】7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 9．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2． （1）求半圆的半径长； （2）求BE的长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据垂径的求得AE=4，设半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得半径； （2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE． 【详解】解：（1）于点且 ， 设半径为，则 在中有 解得： 即半圆的半径为5 （2）为半圆的直径 则 在中有 【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键． 【题型5垂径定理的实际应用】 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，，点C是的中点，D为AB的中点,且，则这段弯路所在圆的半径为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OD,由于点C是的中点、D为AB的中点,则O、D、C三点共线、OD⊥AB，OA=OC=OB,设圆O的半径为r，运用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接OD ∵点C是的中点、D为AB的中点 ∴O、D、C三点共线、OD⊥AB 设圆O的半径为r且r＞0,则OA=OC=OB=AB=r 在Rt△OBD中,OB=r,OD=r-5,BD= ∴ 解得r=或r=（舍去）． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，根据勾股定理构建关于r的方程是解答本题的关键． 2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则半径的长度为（   ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则 寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴则半径的长度为寸， 故选：D． 3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 5．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，则寸，，设圆的半径为x寸，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，如图 ∵， ∴，， 则寸，（寸）， 设圆的半径为x寸，则寸， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴圆材直径为（寸）． 故选：A． 6．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于 dm． 【答案】5． 【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可． 【详解】 解：连接OA， ∵AB＝8，OC⊥AB， ∴AC＝AB＝4． ∵OC＝3， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解决此题的关键． 7．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、 勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再求得，在中，，可求得，进而完成解答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 8．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 9．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 【答案】(1)截面圆的半径为； (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用． （1）由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论； （2）求得，在中，利用勾股定理求得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为； （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为： 10．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）解：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 1．如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可知，AE=CE，AD=BD，易证四边形ODAE是正方形，即可求得． 【详解】如图，连接OA ∵，，AB⊥AC ∴四边形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD 又∵， ∴AE=AD=2 ∴四边形ODAE是正方形，且边长为2 ∴的半径OA= 故选A 【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键． 2.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：过O作，连接， ∴， ∵水面高度下降了， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 3．如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为，此时汽油桶内液面宽度，现在从进油孔处倒油，当液面时，液面上升了 ． 【答案】8或22 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及分类讨论的数学思想．实质是求两条平行线间的距离，根据勾股定理求弦心距，作差或作和分别求解即可． 【详解】连接．作于．则在直角中，， ，根据勾股定理得到：， 当油面宽为时，连接．作于． 在直角中，， ，根据勾股定理得到：，即弦的弦心距是， 当油面没超过圆心O时，如图 油上升了； 当油面超过圆心O时，如图 油上升了． 因而油上升了或． 故答案为8或22． 4．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m. （1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由； （2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】（1）能通过；理由见解析；（2）2.6m. 【分析】对于（1），过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案； 对于（2），如图，根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案. 【详解】（1）如图，M，N为卡车的宽度， 过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足， CD=MN=1.6米，AB=2米， 由作法得，CE=DE=0.8米， 又∵OC=OA=1米， 在Rt△OCE中，OE= ≈0.6（米）， ∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5． ∴这辆卡车能通过． （2）如图：根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米， ∴BF=0.5米， ∴根据勾股定理有：OA=OB=BF+OF=0.5+1.2=1.69（米）， ∴OA=1.3米， ∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）. 【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，把实际问题转化为数学问题. 5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】(1) (2)2米 (3)米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． （3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.2 圆-垂径定理（五大题型） 【题型1利用垂径定理求值】..............................................................................................1 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】.................................................................................3 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】...................................................................................3 【题型4利用垂径定理求解其他问题】..................................................................................5 【题型5垂径定理的实际应用】..............................................................................................7 【题型1利用垂径定理求值】 1．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 2．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 4．如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 5．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 6．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 7．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 【题型2利用垂径定理求平行弦问题】 1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 2．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm． 3．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为 ． 4．⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ． 5.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【题型3利用垂径定理求同心圆问题】 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 4．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【题型4利用垂径定理求解其他问题】 1．下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 2．如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A．B．C．D． 4．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（    ）    A．120° B．125° C．130° D．145° 6．如图，的半径为5，弦，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（     ）   A．6.5 B．5.5 C．3. D．2.5 7．如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 8．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ． 9．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2． （1）求半圆的半径长； （2）求BE的长． 【题型5垂径定理的实际应用】 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，，点C是的中点，D为AB的中点,且，则这段弯路所在圆的半径为（） A． B． C． D． 2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则半径的长度为（   ）寸． A．5 B．8 C．12 D．13 3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 5．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 6．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于 dm． 7．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 8．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 9．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 10．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 1．如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 2.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为，此时汽油桶内液面宽度，现在从进油孔处倒油，当液面时，液面上升了 ． 4．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m. （1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由； （2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$