第二章 有理数及其运算（复习课件）数学北师大版2024七年级上册

单元复习课件 第二章 有理数及其运算 北师大版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1 . 理解有理数的概念，能辨析具有相反意义的量并运用正负数表示；掌握数轴、相反数、绝对值的概念及性质，能借助数轴比较有理数的大小；理解有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，能进行简单的混合运算，并能运用运算解决实际问题，初步形成数感、符号意识和抽象能力． 3 . 理解负数的实际意义，并能在具体情境中准确运用正负数描述数量关系；掌握有理数混合运算中符号与绝对值的综合处理，克服符号混淆的问题；体会“转化”思想，发展数学思维的灵活性． 2 . 掌握有理数的四则运算法则及混合运算顺序，能准确处理运算中的符号问题；理解绝对值的几何意义，并能运用绝对值比较两个负数的大小，发展运算能力和推理意识． 单元学习目标 有理数及其运算 用正负数表示相反意义的量 正负数 表示工具 有理数的定义及分类 大小比较 基本概念 注意：0即不是正数，也不是负数 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称 相反数 数轴 绝对值 所有有理数可在数轴上表示 正数绝对值是本身，负数是其相反数，0的绝对值是0 三要素 原点. 正方向. 单位长度 a的相反数是-a，0的相反数是0 两个负数：绝对值大的反而小 正数＞0＞负数 借助数轴：左边的数＜右边的数 单元知识图谱 有理数及其运算 减法 加法 科学记数法 乘法 近似数 运算 运算法则及运算律 乘方 除法 混合运算 减法可转换成加法 倒数 运算法则 运算律 除法可转换成乘法 乘方的结果叫作幂 表示方法：a×10n，其中1≤a<10 单元知识图谱 考点一、有理数的基本概念 （一）正数与负数 1．像+3，+15，+2.4%，…这样的数是________，正数前面的“________”可省略； 2．像-2，-8，-0.5%，…这样的数是________． 3．________既不是正数也不是负数，它是正数和负数的_____点． 4．用正、负数表示具有________意义的量，如“加分与________” “零上温度与__________” “高于海平面与_____________”等． 正数 + 负数 0 分界 相反 扣分 零下温度 低于海平面 考点串讲 考点一、有理数的基本概念 （二）有理数分类 1．________与________统称有理数． 2．整数包括______、____、______；分数包含_______和_______． 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 （1）按定义分： （2）按符号分： 考点串讲 考点二、数轴、相反数与绝对值 （一）数轴 1．规定了________、________和________的直线叫数轴． 2．所有有理数都能用数轴上的________表示． 3．通常数轴上原点右边的点表示________，左边的点表示负数． 原点 单位长度 正方向 点 正数 考点串讲 考点二、数轴、相反数与绝对值 （二）相反数 1．像3与-3，与这样的两个数，它们的________不同、数量________，我们称这两个数互为相反数． 2．数a的相反数是________，0的相反数是________． 3．互为相反数的两个数到原点的距离________． 符号 相等 -a 0 相等 考点串讲 考点二、数轴、相反数与绝对值 （三）绝对值 1．一个数的_______大小叫作这个数的绝对值，如3和-3的绝对值都等于_______，0的绝对值等于_______．通常用|a|表示数a的绝对值． 2．一个数的绝对值就是这个数所对应点到原点的________． 3．一个数的绝对值与这个数的关系： 正数的绝对值是它________，负数的绝对值是它的________，0的绝对值是________． 4．一个数的绝对值是________数． 数量 3 0 距离 本身 相反数 0 非负 考点串讲 考点二、数轴、相反数与绝对值 （四）有理数的大小比较 1．正数________0，负数________0，正数________负数． 2．两个负数，绝对值大的反而________． 3．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的________． 大于 小于 大于 小 大 考点串讲 考点三、有理数的运算 （一）加法运算 1．同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________． 2．异号两数相加，绝对值相等时和为________，绝对值不等时，取绝对值较大的数的________，并用较大的绝对值_______较小的绝对值． 3．一个数同0相加，仍得________． 4．加法运算律： 加法交换律：____________；加法结合律：____________ 相加 相同 0 符号 减去 这个数 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 考点串讲 考点三、有理数的运算 （二）减法运算 1．减一个数，等于加上这个数的________，即a-b=a+________． 2．有理数的加减混合运算可以统一成________运算． 相反数 （-b） 加法 考点串讲 考点三、有理数的运算 （三）乘法运算 1．两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值________． 2．任何数与0相乘，积仍为________． 3．如果两个有理数的乘积为1，那么这两个有理数互为________． 4．乘法运算律： 乘法交换律：______________ 乘法结合律：______________ 乘法对加法的分配律：______________ 正 负 相乘 0 倒数 ab=ba (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 考点串讲 考点三、有理数的运算 （四）除法运算 1．两数相除，同号得____，异号得_____，并把绝对值________． 2．0除以任何非0的数都得________． 注意：________不能作除数． 3．除以一个数等于乘这个数的________，即a÷b=________（b≠0）． 正 负 相除 0 0 倒数 a× 考点串讲 考点三、有理数的运算 （五）乘方运算 1．求n个相同因数a的________的运算叫乘方，记作，a是________，n是________，乘方的结果叫作________． 2．正数的任何次幂都是________，负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________，0的任何正整数次幂都是________． 3．一个数的偶次幂是________数． 积 底数 指数 幂 正数 负数 正数 0 非负 考点串讲 考点三、有理数的运算 （六）混合运算顺序 先算________，再算________，最后算________；如果有括号，先算________里面的． 乘方 乘除 加减 括号 考点串讲 考点四、科学记数法与近似数 （一）科学记数法 1．一个大于10的数可以表示成________，其中1≤a<10的形式，n是________，这种记数方法叫科学记数法． 2．a与n的取法 在a×10n形式中，n的值是_____________________________，a则是______________________________得来的． a×10n 正整数 原数整数位数减1 将原数保留一位整数 考点串讲 考点四、科学记数法与近似数 （二）近似数 1．近似数是指与________相近的一个数． 2．近似数与准确数的接近程度，可以用________表示． 3．为了得到所需精确度的近似数，常采用____________． 准确数 精确度 四舍五入法 考点串讲 题型一、科学记数法 例1：截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． B 分析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 解：148亿．故选：B． 题型剖析 题型一、科学记数法 一定a：将原数的小数点向左移动，使a满足1≤a<10 ． 二定n：n等于原数的整数位数减 1 ． 题型剖析 题型一、科学记数法 变式：小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（    ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63 米，将63 用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 C 解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 题型剖析 题型二、有理数的概念及分类 例2：下列各数中既是负数，又是整数的是（    ） A．1.5 B． C． D． B 分析：本题考查有理数的分类，正数和负数及分数，根据负数及分数的定义即可求得答案． 解：A.是正分数，不符合题意； B.既是负数，又是整数，符合题意； C.是负分数，不符合题意； D.是正数，不符合题意， 故选：B． 题型剖析 题型二、有理数的概念及分类 一要明确有理数的分类标准． 如：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） ． 二要注意“非”字． 如：非负数就是正数和零． 题型剖析 题型二、有理数的概念及分类 变式：下列说法错误的是（    ） A．正整数和负整数统称整数 B．－4和互为相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 A 解：A、正整数和负整数，零统称整数，故A不正确，符合题意； B、－4和互为相反数，故B正确，不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，故C正确，不符合题意； D、任何有理数都可以用数轴上的点表示，故D正确，不符合题意； 故选：A． 题型剖析 题型三、有理数的大小比较 例3：把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 解：， 在数轴上表示为： 题型剖析 题型三、有理数的大小比较 有理数大小比较的方法 1.借助数轴：画数轴时需明确三要素，确保数的位置准确，右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 2. 两个负数大小比较：先求绝对值，绝对值大的负数反而小． 题型剖析 题型三、有理数的大小比较 变式：比较下列各对数的大小： (1)与；(2) 与0；(3)与；(4)与． 解：（1）因为，，且， 所以； （2）化简，因为负数小于0，所以； （3）分别化简两数，得，， 因为正数都大于负数，所以； （4）因为，，从而， 所以． 题型剖析 题型四、有理数的混合运算 例4：计算题： (1)； (2)． 解：（1）原式 ； （2）原式． 题型剖析 题型四、有理数的混合运算 有理数混合运算要注意 1.严格遵循运算顺序，避免 “先加减后乘除” 的错误． 2.注意符号规则：同号相乘（除）得正，异号得负；乘方运算中，负数的偶次幂为正，奇次幂为负． 题型剖析 题型四、有理数的混合运算 变式：计算. (1)；(2) 解:(1) ； (2) 题型剖析 题型五、近似数 例5：下列说法错误的是（    ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 B 解：A.近似数3.58精确到0.01，正确，不符合题意； B.精确到百位，错误，符合题意； C.2.51万，末位1在百位，故精确到百位，正确，不符合题意； D.近似数2.40精确到百分位，原数a的取值范围为，正确，不符合题意；故选：B． 题型剖析 题型五、近似数 1. 明确近似数的取值要求． 2. 掌握核心方法 —— 四舍五入法． 题型剖析 题型五、近似数 变式：用四舍五入法对下列各数取近似数. (1)（精确到）；(2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 解：（1）（精确到）。 （2）（精确到个位）。 （3）（精确到）。 （4）（精确到千分位）。 题型剖析 题型六、绝对值与乘方的非负性应用 例6：已知，则 ． 解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 题型剖析 题型六、绝对值与乘方的非负性应用 1.识别非负形式：常见非负形式为|a|、a2、b4等，需在题目中准确识别． 2.应用 “和为 0” 条件：若非负形式的和为 0，则每个非负项均为 0，据此列方程求解未知数． 3.结合实际情境验证：求出未知数后，可代入原式验证是否满足非负性条件，确保结果正确． 题型剖析 题型六、绝对值与乘方的非负性应用 变式：如果a是有理数，代数式的最小值是 ． 分析：本题考查了偶次方的性质，根据即可求解． 解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 题型剖析 题型七、与有理数有关的实际应用题 例7：出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 题型剖析 题型七、与有理数有关的实际应用题 解：（1） （千米)， 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点千米，此时在出车点的东边； （2）∵汽车耗油量为升/千米，即升/千米， ∴ （升）， 答：若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油升． 题型剖析 题型七、与有理数有关的实际应用题 1.精准审题，转化实际问题为数学模型． 2.规范列式，确保符号与运算规则正确． 3.结合实际，验证结果合理性． 题型剖析 题型七、与有理数有关的实际应用题 变式：一振子从点开始左右来回振动8次，如果规定向右为正，向左为负，这8次振动的记录为（单位：）：，，，，，，， (1)求该振子停止时所在的位置距点多远； (2)如果每毫米需要用时，那么完成8次振动共需要多少秒？ 题型剖析 题型七、与有理数有关的实际应用题 解：（1） ， 答：该振子停止时所在的位置距点． （2） （秒）， 答：完成8次振动共需要秒． 题型剖析 1．若气温为零上5 ℃记作，则表示气温为（    ） A．零上3 ℃ B．零下 ℃ C．零下3 ℃ D．零下5 ℃ C 分析：本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解：气温为零上5℃记作，则表示气温为零下3℃ ， 故选：C． 针对训练 2．学校商超的花园牛奶包装上，标注有净含量：，那么下列选项中，哪个实际净含量是合格的（     ） A．248.9mL B．244.3mL C．256mL D．239mL A 分析：此题主要考查正负数的意义，关键是先求出合格净含量的范围． 解：，因此合格净含量应在245～255 mL之间．只有A符合题意． 故选：A． 针对训练 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 D 解：A、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意；B、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意；C、，，绝对值不同，不是相反数，故本选项不符合题意；D、，，符号相反且绝对值相等，互为相反数，故本选项符合题意；故选：D． 针对训练 4．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 D 解：∵，∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x，x到m的距离等于x到的距离， 即，当时，则， 即或，∴无解或， 当时，则， 即或，∴无解或， 故选：D 针对训练 5．下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ C 解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 针对训练 6．在，，，，五个数中，最大的是 ，正数有 个，负数有 个，和， 更接近． 解：∵， ∴最大的是，正数有，共个，负数有，共个， ∵， ∴更接近， 故答案为：，，，． 针对训练 7．染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为 ． 分析：本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 解：， 故答案为：． 针对训练 8．一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 . 分析：根据四舍五入的基本原则和意义解答即可． 本题考查了四舍五入的应用，正确理解意义是解题的关键． 解：∵三位小数用“四舍五入”法取近似值是， ∴这个三位小数最大是，最小是． 故答案为：； 针对训练 9．当的值最小时， ． 分析：此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 针对训练 10．正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． C 分析：本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵，∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 针对训练 11．计算： (1)． (2) 解：（1） ； （2） ． 针对训练 12．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼．   (1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置． (2)小明家与小刚家相距多远？ (3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车共耗油多少升？ 针对训练 解：（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米． 小明家：向东走4千米，位置为； 小红家：从小明家继续向东走1千米，位置为； 小刚家：从小红家向西走千米，位置为． 如图表示小明家、小红家、小刚家： （3）货车行驶的各段路程依次为：从百货大楼到小明家：4千米； 从小明家到小红家：1千米； 从小红家到小刚家：千米； 从小刚家回到百货大楼：千米． 总路程为（千米）．共耗油（升）． 答：这辆货车共耗油1升． 针对训练 ✅ 知识构建：有理数及其运算 有理数概念→相反数、绝对值、数轴→有理数的运算→科学记数法与近似数 ✅ 思想方法： 抽象与建模、转化与化归、数学结合、分类讨论、类比迁移、非负性应用 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$