精品解析：河南省项城市第四初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024—2025学年下学期阶段性评价卷一 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图表示某个不等式的解集，这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 由到，成立的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边长分别为，下列选项中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C D. 4. 下列数中，不是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 0 5. 下列命题中，原命题和逆命题都为真命题的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形全等 B. 钝角三角形有两个锐角 C. 对顶角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 6. 解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项、合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中出现错误的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（ ） A 举反例法 B. 整体代入法 C. 反证法 D. 数学归纳法 8. 如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. 9.6 D. 8 10. 若关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 减3的差不大于0，用不等式表示为_____________． 12. 等腰三角形的两边长分别为12，6，这个三角形的周长为_________． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=6,AB=10,分别以顶点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M、N，作直线MN分别交BC，AB于点D，E，则△ACD的周长为 _________． 14. 当_____________时，不等式恒成立． 15. 如图，中，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．若，则_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）． 17. 对于任意实数，定义一种新运算“”：，例如： ． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 18. 2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 19. 如图，已知，与相交于点，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的值． 20. 【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）已知，试比较，的大小； （2），，若，求，的取值范围． 21. 近年来，河南省委、省政府十分重视生态环境保护．某公交公司计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需600万元；若购买型公交车3辆，型公交车2辆，共需1020万元． （1）求型和型公交车每辆价格各为多少万元；（用二元一次方程解答） （2）若该公交公司计划购买型和型公交车共12辆，使其总费用少于2460万元，则最少应购买型公交车多少辆？这种购车方案共花费多少钱？ 22. 如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． （1）若，求和的度数； （2）若，求的长． 23. 在中，，点边上一点，连接． （1）如图1，若，则的长为_____________； （2）如图2，若，点在的延长线上，是边上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，是边上一点，连接平分．若，且，的面积为40，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期阶段性评价卷一 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图表示某个不等式的解集，这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴表示不等式解集的规则，判断数轴上表示的解集对应的不等式，需关注界点是实心还是空心，以及折线方向．本题主要考查了在数轴上表示不等式解集的方法，熟练掌握“实心点表示包含该点，空心点表示不包含；折线方向向左对应小于，向右对应大于”是解题的关键． 【详解】解：数轴上表示解集时，界点是实心点，且折线向左． ∴ 该数轴表示的解集是． 故选： ． 2. 由到，成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：1、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据不等式的性质2，由得到的条件是：． 故选：C． 3. 的三边长分别为，下列选项中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，理解勾股定理的逆定理是解答关键． 根据三角形内角和定理来判断A和B，根据勾股定理的逆定理来判定C和D． 【详解】解：A．，，故是直角三角形，此项不符合题意； B．，，该条件中不能确保必有一个角是直角，不能判断是直角三角形，故此项符合题意； C．，，故是直角三角形，此项不符合题意； D．，，，故是直角三角形，此项不符合题意． 故选：B． 4. 下列数中，不是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和不等式的解．解不等式后即可判断． 【详解】解：， ， ， ∵，，，， ∴不是不等式解， 故选：A． 5. 下列命题中，原命题和逆命题都为真命题的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形全等 B. 钝角三角形有两个锐角 C. 对顶角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，命题真假的判断，熟练掌握求一个命题的逆命题及命题真假的判断是解题的关键．写出原命题的逆命题及判断两个命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题是假命题，故选项A不符合题意； B、原命题是真命题，其逆命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”是假命题，故选项B不符合题意； C、原命题是真命题，其逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是假命题，故选项C不符合题意； D、原命题是真命题，其逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题，故选项D符合题意． 故选：D． 6. 解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项、合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中出现错误的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解本题的关键． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得； 去括号，得； 移项、合并同类项，得； 两边都除以，得． ∴出现错误的一步是第④步． 故选：D． 7. 在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（ ） A. 举反例法 B. 整体代入法 C. 反证法 D. 数学归纳法 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 8. 如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于点E，由三线合一可得，再证，由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 中，，， ，即， ，， ， ， ， ， 故选C． 9. 如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. 9.6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．根据函数图象得出，，作于点H，利用勾股定理解和即可． 【详解】解：如图，作于点H， 由图2知，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 10. 若关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的减3的差不大于0，用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据的减3的差不大于0列不等式即可． 【详解】解：不等式表示为， 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长分别为12，6，这个三角形的周长为_________． 【答案】30 【解析】 【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、12， ， 不能组成三角形， ②6是底边时，三角形的三边分别为12、12、6， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=6,AB=10,分别以顶点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M、N，作直线MN分别交BC，AB于点D，E，则△ACD的周长为 _________． 【答案】14 【解析】 【分析】由题意知，是线段的垂直平分线，故，在中，由勾股定理得的值，根据△ACD的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是线段的垂直平分线 ∴ 在中，由勾股定理得 ∵ ∴△ACD的周长为14 故答案为：14． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的性质． 14. 当_____________时，不等式恒成立． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查不等式的解，解不等式得到，然后根据不等式恒成立可得，解出k值即可． 【详解】解： ∵不等式恒成立， ， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，中，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．若，则_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再同理得到，，最后根据得到 ，，据此列方程求解即可． 详解】解：连接， ∵的平分线交于点， ∴平分，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）． 【答案】（1），数轴见解析； （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集． （1）根据解一元一次不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，求出不等式的解集为，并把解集表示在数轴上即可，注意端点的位置画实心点； （2）根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，求出不等式的解集为，并把解集表示在数轴上即可，注意端点的位置画空心圆． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边都除以得：， 把解集表示在数轴上如图所示： 小问2详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 两边都除以得：， 把解集表示在数轴上如图所示： 17. 对于任意实数，定义一种新运算“”：，例如： ． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义有关的实数的运算； （1）根据定义的新运算得关于的方程，解方程即可． （1）根据定义的新运算得关于的一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 解得． 18. 2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，证明是直角三角形是关键．连接，用勾股定理求出．证明是直角三角形，．根据即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴ 19. 如图，已知，与相交于点，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得的度数，然后根据的直角三角形的性质求出和长，然后根据三线合一解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴与都是直角三角形． 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 在中，． 由（1）可知， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． 20. 【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）已知，试比较，的大小； （2），，若，求，的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为任意实数，的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 21. 近年来，河南省委、省政府十分重视生态环境保护．某公交公司计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需600万元；若购买型公交车3辆，型公交车2辆，共需1020万元． （1）求型和型公交车每辆的价格各为多少万元；（用二元一次方程解答） （2）若该公交公司计划购买型和型公交车共12辆，使其总费用少于2460万元，则最少应购买型公交车多少辆？这种购车方案共花费多少钱？ 【答案】（1）型公交车每辆价格为180万元，型公交车每辆的价格为240万元 （2）最少应购买型公交车8辆，共花费万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解与应用，一元一次不等式的求解与应用，根据题意设出未知数并列式是解决本题的关键． （1）设出未知数，根据题目所花费的费用列二元一次方程组求解即可． （2）设出型公交车辆，由型和型公交车共12辆，可得型公交车的数量，再根据总费用列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设型公交车每辆的价格为万元，型公交车每辆的价格为万元． 由题意，得，解得． 答：型公交车每辆的价格为180万元，型公交车每辆的价格为240万元． 【小问2详解】 解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆． 由题意，得．解得． ∴最少应购买型公交车8辆． 则购买型公交车的辆数为． 这种购车方案共花费（万元）． 22. 如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． （1）若，求和的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长． 【小问1详解】 解： 是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， 故；； 【小问2详解】 解：是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 23. 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图1，若，则的长为_____________； （2）如图2，若，点在的延长线上，是边上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，是边上一点，连接平分．若，且，的面积为40，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，等面积法，通过构造辅助线得到为等边三角形并由三点共线求解最小值是解决本题的关键． （1）根据已知条件可得为等边三角形，再根据勾股定理求解即可； （2）通过构造辅助线，使用角角边的证明方法证明与全等，可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明； （3）通过构造辅助线，由“三点共线，最小”转化为求的长度，再由三角形面积可求解的长度，再由等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴为等边三角形， ∵，即， ∴， ∴在中，， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接，如图， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， 则， 当点，点，点三点共线时，最小， 即当时，最小，为， ∵， ∴，， ∵的面积为40， ∴， 即， 解得， 在中，， 在中，， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $