15.3.1 等腰三角形 教案 2025—2026学年人教版数学八年级上册

15.3　等腰三角形 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形的性质. 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决相关问题. 重点：掌握等腰三角形的性质. 难点：运用等腰三角形的性质解决相关问题. 仔细观察下列图片，你能找出它们的共同特点吗？ 探究点一　等腰三角形 类型一　等腰三角形的定义 【例1】一个等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为10cm，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　. 【解析】若6cm为等腰三角形的腰长，则10cm为底边的长，此时等腰三角形的周长＝6＋6＋10＝22（cm）； 若10cm为等腰三角形的腰长，则6cm为底边的长，此时等腰三角形的周长＝10＋6＋10＝26（cm）. 综上，等腰三角形的周长为22cm或26cm. 【解】22cm或26cm 【方法总结】由等腰三角形的定义可知，等腰三角形的两腰相等.因为题中没有说明哪一条边是腰，所以分两种情况讨论.求出三边后，需要利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形. 类型二　等腰三角形的性质1 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD.在△ADC中，AC＝DC，求△ABC各角的度数. 【解析】因为△ADC为等腰三角形，可运用“等边对等角”得∠DAC＝∠ADC.由AB＝AC，AD＝BD可得∠C＝∠B＝∠BAD，再用三角形的外角得∠ADC＝∠B＋∠BAD，再在△ABC中运用三角形内角和等于180°即可得解. 【解】∵AC＝DC， ∴∠DAC＝∠ADC. 又∵AB＝AC，AD＝BD， ∴∠C＝∠B＝∠BAD. 设∠B＝x，则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x， ∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∠BAC＝∠DAC＋∠BAD＝3x， 于是在△ABC中，有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°， 解得x＝36°， ∴在△ABC中，∠BAC＝3×36°＝108°，∠B＝∠C＝36°. 【方法总结】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，再根据等腰三角形的边的关系，转化为角的关系，求出角的度数. 类型三　等腰三角形的性质2 【例3】已知在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC的中点，∠BAC＝110°，求∠B和∠BAD的大小. 【解析】先根据等腰三角形的性质“等边对等角”求出∠B的度数；再根据题目中给出的已知条件，利用“三线合一”即可得出∠BAD的度数. 【解】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝（180°－∠BAC）÷2＝35°. ∵D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝55°. 故∠B为35°，∠BAD为55°. 【方法总结】利用等腰三角形的性质“等边对等角”和“三线合一”求出角的度数. 探究点二　等腰三角形性质的应用 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB. （1）求证：∠BAC＝2∠EDB. （2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积. 【解析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质以及余角的性质即可求解；（2）根据三角形面积公式，以及中点的性质即可求解. 【解】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°， ∴∠B＋∠EDB＝90°， ∴∠EDB＝∠BAD＝∠BAC， 即∠BAC＝2∠EDB. （2）∵AB＝AC＝6，DE＝2， ∴S△ABD＝×6×2＝6. ∵D为BC边的中点， ∴S△ADC＝S△ADB＝6， ∴S△ABC＝12. 【方法总结】利用等腰三角形的“三线合一”的性质以及余角的性质证明角之间的关系. 1.等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A.75°　　B.30°　　C.75°或30°　　D.不能确定 2.如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上. （1）求证：BE＝CE. （2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°.求证：AE＝2BD. 第1课时　等腰三角形的性质 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形. 2.等腰三角形性质： 性质1：“等边对等角”； 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合（简写成“三线合一”）. 3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（底边上的高线、顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴. 本节课学习了等腰三角形的定义及两个性质：“等边对等角”和“三线合一”. 　　本节课的学习任务比较重要，有等腰三角形性质的推导、性质的应用，所以要充分地发挥学生主观能动性，让学生自己去发现、去联想.学生通过自己动手实验得到等腰三角形性质的内容，可以使他们比较好地掌握知识、提高学习数学的兴趣，达到事半功倍之效.在整个教学过程中，利用多媒体教学手段，使学生在实验中通过提出问题、解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，让学生由被动学习转变为主动学习.在性质的应用中，要注意“三线合一”是指哪“三线”. 答案 课堂训练 1.C 2.证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE. （2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AC， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF. ∵BF⊥AC， ∴∠CBF＋∠C＝90°. 由（1）得AD垂直平分BC， ∴∠EAF＋∠C＝90°，BC＝2BD， ∴∠CBF＝∠EAF， 在△AEF和△BCF中， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BC， ∴AE＝2BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　等腰三角形的判定 1.掌握等腰三角形的判定方法. 2.会运用等腰三角形的判定方法进行证明和计算. 3.会用尺规作等腰三角形. 重点：探索并证明等腰三角形的判定定理. 难点：运用等腰三角形的判定定理进行证明. 在△ABC中，AB＝AC，一不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和底角∠B，∠C.请问有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 探究点一　等腰三角形的判定方法 【例1】已知：如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形. 【解析】先根据DE⊥AC，DF⊥AB，得出△DEC和△DFB是直角三角形，再根据“HL”得出Rt△DEC≌Rt△DFB，证出∠C＝∠B，从而判断出△ABC是等腰三角形. 【解】∵D是△ABC的边BC上的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F， ∴△DEC和△DFB为直角三角形， 在Rt△CED和Rt△BFD中， ∴Rt△CED≌Rt△BFD（HL）， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC是等腰三角形. 【方法总结】判定三角形是等腰三角形时，可以利用“等角对等边”寻找相等的底角进行判断. 探究点二　等腰三角形的尺规作图 【例2】尺规作图：已知线段a，作一个等腰三角形ABC，使底边长为a，底边上的高为a（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标出必要的字母，不写作法和结论）. 【解析】先作一条线段等于已知线段，再作线段的垂直平分线，再在线段的垂直平分线上截取高为a. 【解】已知：如图，线段a.求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝a. 【方法总结】本题考查了作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的作法.理清作等腰三角形的思路是解题的关键. 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点M在BC上，ME∥AC交AB于点E，MF∥AB交AC于点F，则四边形MEAF的周长是（　　） A.6　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12 2.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC. 第2课时　等腰三角形的判定 1.等腰三角形的判定：等角对等边. 2.等腰三角形的作法： （1）作线段AB＝a； （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC＝h； （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作等腰三角形. 本节课学习了等腰三角形的判定方法和用尺规作等腰三角形. 　　在整节课的教学过程中，把等腰三角形判定定理作为主线，训练学生思维，以设疑—动手—猜想—证明—运用为教学程序，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力.注重引导学生体会知识的发生、发展过程，让学生充分地动脑、动口、动手，积极地参与到教学中来. 答案 课堂训练 1.D 2.证明：∵AE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∵AE平分∠DAC， ∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$