15.1.2 线段的垂直平分线 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第2课时　线段的垂直平分线的作法 1.能用尺规作已知线段的垂直平分线. 2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据. 3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题. 重点：能用尺规作已知线段的垂直平分线. 难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题. 如图，A，B是路边两个新建的小区，要在公路m边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ 探究点一　线段的垂直平分线的作法 类型一　线段的垂直平分线的作法 【例1】已知：线段AB（如图所示）.求作：线段AB的垂直平分线. 【解析】先作AC＝BC，∴点C在AB的垂直平分线上.同理作AD＝BD，∴点D在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线. 【解】作法：如图所示. （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点. （2）作直线CD，CD就是所求作的垂直平分线. 类型二　尺规作线段的垂直平分线的实际应用 【例2】如图，在某街道AB的两侧各有一个居民小区C，D，现规划在街道上修建一座过街天桥，使得住在C，D两个小区的居民穿过街道一样方便（到过街天桥路程相同），过街天桥的位置应选在何处？请你用尺规作图，确定天桥的位置P. 【解析】根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作出线段CD的垂直平分线EF，EF与AB的交点即为P. 【解】连接CD，分别以C，D两点为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别交于点E和点F，连接EF，直线EF交直线AB于点P，点P就是所要修建的过街天桥的位置，如图所示. 探究点二　画对称轴 【例3】如图，△ABC与△A'B'C'关于某条直线对称，请作出这条直线（保留作图痕迹，不写作法）. 【解析】作出任意一对对应点所连线段的垂直平分线就是图形的对称轴. 【解】如图，根据轴对称的性质，连接对称点BB'，然后作BB'的垂直平分线MN，直线MN即为对称轴. 【方法总结】熟记对称轴是对称点连线的垂直平分线，而且要掌握好线段的垂直平分线的尺规作图的步骤. 探究点三　过已知直线外一点作这条直线的垂线 【例4】如图，校园内有一条路OA，在这条路旁边有一个新建的餐馆B，学校准备修一条新路连接OA与餐馆B.怎样修最节省成本？请你帮忙画出这条新路（保留作图痕迹，不写作法）. 【解析】（1）任意取一点K，使点K和点B分别在OA的两旁；（2）以点B为圆心，BK的长为半径作弧，交OA于点D和点E；（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；（4）作直线BF，交OA于点G.BG就是所画的这条新路. 【解】如图，线段BG即为所求. 1.如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于点P，其中AP＝2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下： 甲：作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即为所求； 乙：作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即为所求. 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A.两人都正确 B.两人都错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 2.某大学两个分校区M，N和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示校区，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两校区的距离相等，到两条公路的距离也相等. （1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（保留画图痕迹，不写画法）. （2）阐述你设计的理由. 第2课时　线段的垂直平分线的作法 1.线段垂直平分线的作法. 2.作图形的对称轴. 3.过已知直线外一点作这条直线的垂线. 这节课学习了线段垂直平分线的作法、过已知直线外一点作这条直线的垂线和轴对称图形的对称轴的作法. 　　本节课是作图课，先让学生回顾上节课学习的线段垂直平分线的性质和判定，复习尺规作图的一般步骤，鼓励学生自己动手作线段的垂直平分线和作轴对称图形的对称轴.学生对尺规作图掌握得不牢固，作图不规范时，要让学生多练习，练习的同时让学生感受线段垂直平分线的作法在实际应用中的广泛性. 答案 课堂训练 1.D 2.解：（1）能，如图，点P就是仓库所在的位置. （2）点P为线段MN的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，则点P到点M，N的距离相等，到AO，BO的距离也相等，故点P符合要求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法，并会用其性质进行简单的推理、判断、计算. 2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 重点：垂直平分线的性质和判定. 难点：明确线段垂直平分线的性质和判定的区别. 如图，区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心.试问该购物中心应建在何处，才能使得它到三个住宅小区的距离相等？ 探究点一　线段的垂直平分线的性质 【例1】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A＝40°，AB＋BC＝6. （1）△BCF的周长为多少？ （2）∠FEC的度数为多少？ 【解析】（1）由线段的垂直平分线的性质得到AF＝BF，根据三角形的周长公式计算，得出答案；（2）利用三角形内角和定理得到∠ACB＝∠ABC＝70°，根据线段垂直平分线的定义得到∠BDE＝90°，由直角三角形的性质计算. 【解】（1）∵DF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF. ∵AB＋BC＝6，AB＝AC， ∴△BCF的周长＝BC＋CF＋BF＝BC＋CF＋AF＝BC＋AC＝BC＋AB＝6. （2）∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠ABC＝×（180°－40°）＝70°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠BDE＝90°， ∴∠FEC＝90°－∠ABC＝20°. 【方法总结】根据线段垂直平分线的性质求周长，关键是找到与所求线段相等的线段，运用等量代换. 探究点二　线段的垂直平分线的判定 【例2】如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC延长线上的点.求证：BE＝DE. 【解析】首先证明AE垂直平分线段BD，再利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题. 【解】∵AB＝AD，BC＝CD， ∴AC所在直线是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）. 【方法总结】用线段垂直平分线的判定定理证明时，需要证明两点到这条线段的端点的距离相等. 探究点三　互逆命题与互逆定理 【例3】写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理. （1）同位角相等. （2）全等三角形的对应角相等. 【解析】交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理. 【解】（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角. 由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理. （2）逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形. 由于逆命题为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理. 1.在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　　） A.三条角平分线的交点 B.三条高线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 2.如图，在△ABC中，AB＋AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　　 　cm. 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 1.（1）线段的垂直平分线的性质； （2）用符号语言表示： ∵PC垂直平分AB（CA＝CB，PC⊥AB）， ∴PA＝PB. 2.（1）线段垂直平分线性质的逆定理； （2）用符号语言表示： ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 3.互逆命题与互逆定理. 本节课学习了线段的垂直平分线的性质和判定及互逆命题与互逆定理的相关概念. 　　本节课学习了线段垂直平分线的性质定理、判定定理及互逆命题与互逆定理.对于线段的垂直平分线的性质定理与逆定理，学生在理解上有困难，教师应该示范证明线段垂直平分线的性质定理的过程，再要求学生自己证明逆定理.教师可以提示学生如何证明：一是证明以文字命题的结论，需要事先写出已知、求证，并画出相应的图形.学生对这类证明接触不多，会感到一定的困难；二是在证明中需要添加辅助线，这对于学生来说是另一难点，需要教师的正确引导和点拨，并总结出作辅助线的方法，“作垂直，证平分”或者“作平分，证垂直”，由此体会到“过一点不可能作直线保证既垂直又平分”.引导学生积极思考，在训练中收获新的知识. 答案 课堂训练 1.D 2.6 学科网（北京）股份有限公司 $$