14.3 角的平分线 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3　角的平分线 第1课时　角的平分线的性质 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角的平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线的性质解决简单的几何问题. 重点：能用角的平分线的性质解决几何问题. 难点：探究并掌握角的平分线的性质定理. 如图所示的是一个平分角的仪器的示意图，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 其依据是“SSS”，两全等三角形的对应角相等. 探究点一　用尺规作角的平分线 【例1】如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OP（不要求写作法，但要保留作图痕迹）. 【解析】（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；（3）作射线OP.射线OP即为所求. 【解】如图所示，OP即为所求. 【方法总结】（1）作法中“以适当长为半径”，要求美观，不能太大或太小，“大于MN的长为半径作弧”是因为小于或等于MN的长为半径时作出的两弧不能形成交点；（2）两弧的交点应在角的内部找，因为要作的是角的平分线；（3）作“角平分线OP”不能叙述为“连接OP”，角平分线是射线，而不是线段. 探究点二　角的平分线的性质 【例2】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，BC＝16cm，CM：MB＝3：5.求点M到AB的距离. 【解析】过点M作MD⊥AB于点D，先求出CM，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM＝CM. 【解】如图，过点M作MD⊥AB于点D. ∵BC＝16cm，CM：MB＝3：5， ∴CM＝×16＝6（cm）. ∵∠C＝90°，AM平分∠CAB， ∴DM＝CM＝6cm， 即点M到AB的距离为6cm. 【方法总结】利用角平分线的性质解答问题时，辅助线的作法：若已知角的平分线和过角平分线上的一点向已知角的一边所作的垂线，往往要过这点作已知角另一边的垂线，利用两垂线段相等求解相关问题. 1.如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法，在用尺规作角平分线的过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） 作法：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③作射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线. A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 第1题图　　　第2题图 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD＝3，则△ABD的面积为　　　　　　. 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF. 第1课时　角的平分线的性质 1.用尺规作角的平分线： 2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 本节课学习了尺规作图作已知角的平分线，角平分线的性质. 　　本节课通过平分角的仪器引入新课，师生共同来探究角平分线的作法，通过具体的实际操作一起探究角平分线的性质.利用所学知识解决问题，同时充分利用教具和多媒体，增强学生的直观观念.对于利用角平分线的性质解决线段相等或角相等问题，常作的辅助线是过角平分线上的一点向角的两边作垂线，但在应用时，学生还是不习惯，多数学生还是用三角形全等来解决问题，这就需要循序渐进地设计一些典型题目进行巩固. 答案 课堂训练 1.C　2.15 3.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE. 在△DCF和△DEB中， ∴△DCF≌△DEB（SAS）， ∴BD＝DF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　角的平分线的判定 1.理解角平分线的判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 重点：会用角平分线的判定定理解答问题. 难点：理解角平分线的判定定理. 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 探究点一　角平分线的判定定理 【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，ED⊥AB于点D，DE＝CE，则∠CBE＝　　　　　　. 【解析】∵∠C＝90°，ED⊥AB于点D，DE＝CE， ∴BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠ABC＝×（90°－40°）＝25°. 【解】25° 【方法总结】在有关角的平分线的问题中，由角的平分线的性质可得到线段相等，而欲证明某个点在角的平分线上或某条直线是角的平分线所在直线时，只要证明该点或直线上的任意一点到角的两边的距离相等即可. 探究点二　角平分线的性质与判定的综合应用 【例2】如图，在△ABC中，BP，CP是△ABC的外角平分线.求证：点P必在∠A的平分线上. 【解析】过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE，垂足分别为F，G，H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，再根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明. 【解】如图，过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE垂足分别为F，G，H. ∵BP，CP是△ABC的外角平分线， ∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PH， ∴点P必在∠A的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）. 探究点三　几何命题的证明 【例3】求证：任意一个三角形的两条角平分线的交点在第三条角平分线上. 【解析】写出文字证明题的题设和结论，写成已知、求证并画出图形，再证明. 【解】已知：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：AP平分∠BAC. 证明：如图，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D. ∵BM是∠ABC的平分线且点P在BM上， ∴PD＝PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF＝PE， ∴PD＝PF， ∴AP平分∠BAC（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）. 【方法总结】利用角平分线的性质定理和判定定理解答问题时，常作的辅助线是过角平分线上的一点作角两边的垂线. 1.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝　　　　　　. 2.如图，已知∠ADC＋∠ABC＝180°，DC＝BC.求证：点C在∠DAB的平分线上. 第2课时　角的平分线的判定 1.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.角的平分线的判定. 本节课学习了角平分线的判定定理及用角平分线的性质定理和判定定理解答问题. 　　本节课学习了角平分线的判定定理，由于上节课学习了角平分线的性质定理，在理解上有了一定的基础.通过教材思考和学生自己证明定理，更容易理解“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，而且能够熟练地作出辅助线并应用到实际问题中. 答案 课堂训练 1.60° 2.证明：如图，过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F. ∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠EDC＝∠ABC. 在△CDE和△CBF中， ∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF， ∴点C在∠DAB的平分线上. 学科网（北京）股份有限公司 $$