第14讲 椭圆的简单几何性质（知识清单+13题型讲解练+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版选择性必修第一册）

第14讲 椭圆的简单几何性质 内容预览 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 知识点02直线与椭圆的位置关系 知识点03中点弦问题 题型讲解 【题型一】 求椭圆的焦点、焦距 【题型二】 求共焦点的椭圆方程 【题型三】 椭圆中x、y的取值范围 【题型四】根据椭圆的有界性求范围或最值 【题型五】 点和椭圆的位置关系 【题型六】 求椭圆的长轴、短轴 【题型七】 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【题型八】 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【题型九】 根据离心率求椭圆的标准方程 【题型十】 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【题型十一】 椭圆的实际应用 【题型十二】 直线与椭圆的位置关系 【题型十三】 中点弦问题 好题必刷 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 知识点02直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 知识点03中点弦问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 题型方法 【题型一】 求椭圆的焦点、焦距 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据给定条件，可得圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆，再求出即可. 【详解】依题意，圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆， 由对称性得，则，， 则椭圆的焦距. 故选：C 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 ． 【答案】2 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以， 则焦点坐标为， 所以两个焦点之间的距离为2， 故答案为：2 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为．过、、作，其中圆心的坐标为．直线与能否相切？证明你的结论． 【答案】直线与不能相切，证明见解析 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据三角形外接圆的性质求出点的坐标，从而可求出，若直线与相切，则，求出进行判断即可. 【详解】直线与不能相切．理由如下： 设椭圆的左焦点为，， 所以，， 所以线段的中垂线的斜率为， 因为线段的中点为，所以线段的中垂线方程为， 因为为过、、的的圆心，所以点的横坐标为， 所以，即， 所以． 如果直线与相切，则， 所以，化简得， 解得或2，与矛盾， 所以直线与不能相切． 【题型二】 求共焦点的椭圆方程 【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的椭圆方程 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【答案】 【知识点】求共焦点的椭圆方程 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】本题有两种方法：法一是设共焦点的椭圆方程系，直接代入(3，2)即可求得；法二是求出椭圆的焦点，利用定义求出长轴长，进而求出椭圆标准方程． 【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 【题型三】 椭圆中x、y的取值范围 【例3】（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中x、y的取值范围 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏·课前预习）若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为： ； 【答案】， 【知识点】椭圆中x、y的取值范围 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中x、y的取值范围 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知，是椭圆：()的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点关于直线的对称点、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中x、y的取值范围 【分析】（1）根据题意列出关于，的方程组，进而求解即可求得椭圆的方程； （2）根据关于直线的对称性质可得，从而解得，，即可得到，再根据椭圆的性质可得，进而即可的取值范围． 【详解】（1）由点在椭圆上，则有①， 又，则为的中点，则，即， 所以②， 联立①②解得，， 所以椭圆的方程为． （2）由点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 又点在椭圆上，则， 所以，即的取值范围为． 【题型四】 根据椭圆的有界性求范围或最值 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 【变式2】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 【变式3】（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】（1）利用已知点建立方程组求解即得. （2）设，且，利用两点间距离公式可得，再利用椭圆上的点坐标的范围即可求得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意设，且， 由，得， 则(*)， 因，， 则， 代入(*)式，可得：， 化简得， 因，得， 即得， 故实数的取值范围是. 【题型五】 点和椭圆的位置关系 【例5】（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点和椭圆的位置关系 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】点和椭圆的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、点和椭圆的位置关系 【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，解得：. 故椭圆的方程为： （2）设是椭圆上的任意一点，所以， 所以，其中. 所以. 故点到点的距离的取值范围是. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、点和椭圆的位置关系 【分析】（1）求出，在椭圆上，故，计算出，得到点在椭圆上； （2）得到，两边平方相加，结合可得，由柯西不等式可得，从而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以，即， 在椭圆上，故， 其中 又，故， 所以点在椭圆上； （2）设，， 所以，故， 在椭圆上，故， 所以， 平方得①， 平方得，即②， 式子①+②得，即， 由于， 由柯西不等式得， 故，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得. 【题型六】 求椭圆的长轴、短轴 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，所以长轴长为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ． 【答案】或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可. 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 【题型七】 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例7】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 【变式2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 【变式3】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法1：设，根据已知条件先将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可； 方法2：设，然后将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可. 【详解】方法1：设，因为，所以 所以． 因为，所以． 因为存在点使得，即， 所以在上有解． 因为，且， 所以在上有解，即在上有解． 因为，所以即解得． 方法2：设，由题意存在点使得，即， 因为，所以 所以所以．因为，所以． 因为，所以即解得． 故答案为：. 【题型八】 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【例8】（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 【答案】 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】根据离心率公式，结合离心率与椭圆扁平程度的关系即可求解,即可根据长轴公式求解. 【详解】的离心率为， 由于比椭圆更扁，故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为， 故答案为： 【题型九】 根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 【答案】B 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】设轴截面椭圆的方程为的值轴截面椭圆经过的点坐标的值该灯笼的高． 【详解】设轴截面椭圆的方程为，由题意可知，，则． 记在距离最大横截面6cm处的横截面圆的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得， 所以该灯笼的高为． 故选：B. 【变式1】（2025高二上·全国·专题练习）离心率，焦距的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据椭圆定义，，，解出椭圆. 另外因为题目没有说明焦点在轴还是轴，因此该题有两个标准方程. 【详解】因为椭圆的离心率，焦距， 所以，且，所以， 所以椭圆的标准方程为或． 【变式2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 【变式3】（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 【题型十】 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【例10】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率，则实数 ． 【答案】或 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解. 【详解】①若焦点在轴上，则，即，， 则， 可得，解得； ②若焦点在轴上，则，即， 则 可得，即； 故答案为：或. 【变式2】（24-25高二上·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 . 【答案】4 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据离心率公式计算求参即可. 【详解】由，故离心率为，解得. 故答案为：4. 【变式3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【答案】 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和双曲线定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 【题型十一】 椭圆的实际应用 【例11-1】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆与反光镜的设计问题 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【例11-2】（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、星体运行轨道问题 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【例11-3】（22-23高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆与桥梁问题 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/0.5 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的其他应用 【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，即可求离心率. 【详解】设球O半径为r，由题意知：， ，椭圆的长半轴长， 椭圆短半轴长为球的半径，即， 所以， 椭圆的离心率为， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 【答案】0.02/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、星体运行轨道问题 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 【变式3】（22-23高二上·贵州黔西·期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆与反光镜的设计问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆的定义得出，再利用垂直关系和进行求解； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，韦达定理，利用斜率公式及得到关于、的关系式，化简两根之和与积，利用及点在椭圆上得到，代入化简即可求解. 【详解】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点， 则轴，又因为，， 所以，所以点，代入得， 又，解得，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线的方程为，，， 联立，得：， 则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 则， 即，即，则或， 当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍去）， 所以，则，， 且， 解得；因为，所以， 即，即，即， 即， 即，即， 则或，所以或 【题型十二】 直线与椭圆的位置关系 【例12】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）利用椭圆上的点和离心率，列方程组求出，可得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，利用方程有唯一解的条件即可求得的值. 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点， 可得解得，， 故的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，∴． 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意求得即可得椭圆方程； （2）①设直线，，联立方程利用韦达定理求直线l的方程，代入点P运算求解即可；②根据直线l的方程求直线l与PN，QM的交点坐标，结合题意可求得，利用弦长公式整理可得，利用换元法结合对勾函数求取值范围. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 由题意可得：，解得，所以椭圆. （2）①因为，则直线，， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 则，， 即线段AB的中点为， 所以直线，即， 若直线l过点，则，整理得， 对于，则，即无解， 由，解得. ②由①可知：直线， 令，可得，即直线l与PN的交点坐标为， 令，可得，即直线l与QM的交点坐标为， 由题意可得：，解得， 可得， ， 则， 可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，且，可得， 则，可得， 即，可得. 所以的取值范围. 【变式2】（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为 (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意可得，，求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，设直线与椭圆的交点为和，利用韦达定理可得，求得的坐标，进而可得，求解即可. 【详解】（1）已知椭圆 的标准方程为：， 因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； （2）将直线的方程代入椭圆的方程得， 可得，整理得， 设直线与椭圆的交点为和， 所以， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为， 因为，即，所以， 因为 和 ，代入得， 化简， 展开分子 ， 所以， 所以 ， 又， 所以，整理得，解得. 【变式3】（2025·四川南充·三模）在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）将三角形周长的条件转化为动点P到，的距离和为定值，利用椭圆的定义即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及中点坐标公式和垂直平分线的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可知：， . 由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为， 则，，解得，则， 故曲线的方程为. （2）联立方程组，消去，整理可得. 则. 设，，的中点为， 则由韦达定理可知：，. ，. ∵，，则，如图所示. 又， 则，即，解得. 【题型十三】 中点弦问题 【例13】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 【答案】/ 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设, 则，相减可得， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果. 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得： ， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：， 则，， 所以线段的长度是： ， 故答案为： 【变式4】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）若椭圆的离心率为，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 2．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【详解】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出椭圆的方程，画出简图，结合图象，得到，设点，由两点间的距离公式，以及相似三角形转化为的表达式，然后求解取值范围，即可求解． 【详解】设椭圆方程为， 由题意有，由此解得， 椭圆方程为， 结合题意画出图象，如下图所示， 为的垂直平分线，所以， 又为中点，为中点， 由中位线定理可得，． 设点，点在椭圆上， ，即，且， 由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上， ，， ，，， ， 又，， ， 令， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， ，， 故的取值范围为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用，构造函数，再利用其单调性可得答案． 二、多选题 7．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 【答案】BD 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】由题知或， 解得或. 故选：BD 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则,,利用勾股定理可得，然后通过计算可判断每个选项的正误. 【详解】根据题意，设，则,， 又因为，所以勾股定理得， 得，故或(舍),所以，故选项A正确； 由，，则， 在中，，故选项B正确； 在中，， 整理得，故，选项C正确; 在中，，故选项D错误. 故选：ABC 9．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为 【答案】CD 【分析】由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D. 【详解】 因为半焦距长为，可得左焦点为，右焦点为， 因为，所以轴， 对于A：， 当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故A错误； 对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故B不正确； 对于C：因为在椭圆内，所以长轴长， 所以离心率，所以，故C正确； 对于D：因为，所以为的中点，而，，， 所以，所以长轴长，故D正确； 故选：CD. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 三、填空题 10．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆定义得，将转化为关于的二次函数求最值可得. 【详解】由椭圆得. 由点在椭圆上，故，故， 则， 故当时，取最大值. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 13．（24-25高二上·安徽黄山·期中）中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为 ． 【答案】 【分析】由离心率可得，将直线方程代入椭圆方程，又由于，有，结合韦达定理，可求出，即得． 【详解】设椭圆方程， ，， ，即． 椭圆方程为． 把直线方程代入化简得． 设、， 则， ，， 即 解得，． 椭圆方程为，即． 故答案为：． 14．（23-24高二上·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【答案】 【分析】由已知及圆的性质，得四边形是正方形，得，由得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 四、解答题 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由短轴长和离心率列式求出即可得解. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式即可计算求解. 【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. （2）联立， 故， 设，则， 所以. 所以弦的长度为. 17．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的顶点求得，再根据离心率求解，由此求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及中垂线的性质求解即可. 【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，，联立消去得，， 显然，，， 则； （3）设，， 联立消去得，， 由得，则， 设线段的中点为，则，所以， 则线段的中垂线方程为, 因为，所以在线段的中垂线上，即,解得，满足， 所以. 18．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用可以求得点的纵坐标，再将点的坐标代入椭圆的方程，即可求得，再利用求出，从而求出椭圆的方程； (2)先讨论当直线的斜率不存在和等于时两种特殊情况下矩形的面积，再讨论一般情况，数形结合，转化为求二次函数的最值问题即可求解. 【详解】（1）因为，所以，得，所以， 因为在椭圆上，则，解得， 因为，解得，所以， 所以椭圆的标准方程． （2）①当直线的斜率不存在时，矩形的面积为； ②当直线的斜率为0时，矩形的面积为； ③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，解得， 则平行线，的方程为和， 因为为矩形，所以即为平行线，之间的距离， 所以， 同理可得， 所以矩形的面积 ， 令，所以， 又，所以，则， 当，即时，取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，矩形面积的取值范围是． 19．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. （3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可. 【详解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由得，故直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：求直线的方法是解题的关键，首先设切点，利用判别式结合切点坐标替换，是求直线方程关键技巧，再代入点坐标，可得出直线方程，进而求解定点即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 椭圆的简单几何性质 内容预览 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 知识点02直线与椭圆的位置关系 知识点03中点弦问题 题型讲解 【题型一】 求椭圆的焦点、焦距 【题型二】 求共焦点的椭圆方程 【题型三】 椭圆中x、y的取值范围 【题型四】根据椭圆的有界性求范围或最值 【题型五】 点和椭圆的位置关系 【题型六】 求椭圆的长轴、短轴 【题型七】 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【题型八】 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【题型九】 根据离心率求椭圆的标准方程 【题型十】 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【题型十一】 椭圆的实际应用 【题型十二】 直线与椭圆的位置关系 【题型十三】 中点弦问题 好题必刷 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 知识点02直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 知识点03中点弦问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 题型方法 【题型一】 求椭圆的焦点、焦距 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 ． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为．过、、作，其中圆心的坐标为．直线与能否相切？证明你的结论． 【题型二】 求共焦点的椭圆方程 【例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【题型三】 椭圆中x、y的取值范围 【例3】（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【变式1】（23-24高二上·江苏·课前预习）若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为： ； 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【变式3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知，是椭圆：()的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． 【题型四】 根据椭圆的有界性求范围或最值 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【变式3】（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【题型五】 点和椭圆的位置关系 【例5】（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 【题型六】 求椭圆的长轴、短轴 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ． 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ． 【题型七】 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例7】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    【题型八】 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【例8】（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 【题型九】 根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 【变式1】（2025高二上·全国·专题练习）离心率，焦距的椭圆的标准方程为 ． 【变式2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【变式3】（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【题型十】 由椭圆的离心率求参数的取值范围 【例10】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【变式1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率，则实数 ． 【变式2】（24-25高二上·广东茂名·期末）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 . 【变式3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 【题型十一】 椭圆的实际应用 【例11-1】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【例11-2】（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【例11-3】（22-23高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 【变式2】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ． 【变式3】（22-23高二上·贵州黔西·期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值. 【题型十二】 直线与椭圆的位置关系 【例12】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若直线与有且只有一个公共点，求的值． 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 【变式2】（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【变式3】（2025·四川南充·三模）在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 【题型十三】 中点弦问题 【例13】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 【变式3】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【变式4】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）若椭圆的离心率为，则（    ） A． B．4 C． D．2 2．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为 三、填空题 10．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 13．（24-25高二上·安徽黄山·期中）中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为 ． 14．（23-24高二上·贵州安顺·期中）已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 15．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 四、解答题 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 17．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 18．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 19．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$