21.3 实际问题与一元二次方程-导学案 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程导学案 新知探究 【问题1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【提问】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 根据以上信息，列方程解答每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【问题2】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【提问1】计算甲、乙两种药品成本的年平均下降额？ 【提问2】一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？ 【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗? 【问题3】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 【提问1】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？ 【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗? 典例分析 例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1700台？ 例2 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 例3 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。 21.3 实际问题与一元二次方程导学案 答案 新知探究 【问题1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【提问】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 根据以上信息，列方程解答每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【提问】 根据以上信息，列方程解答每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人，第二轮传染源人数为（x+1）人，被传染人数为x（x+1）人 等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数=121 解设每轮传染中平均一个人传染了x个人 列方程 1+x+x(1+x) = 121 解方程得x1=10，x2=-12 （不合题意，舍去） 答：平均一个人传染了 10 个人 【问题2】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【提问1】计算甲、乙两种药品成本的年平均下降额？ 甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元）， 乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）． 显然，乙种药品的年平均下降额较大，但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分率）。 【提问2】一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？ 设甲种药品成本的年平均下降率为 x，一年后甲种药品成本为-x）元，两年后甲种药品成本为元． 设乙种药品成本的年平均下降率为 y，一年后乙种药品成本为-y）元，两年后乙种药品成本为元． 【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗? 等量关系:平均变化率为a，变化前的数量=变化后的数量 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 列方程得=3000 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5% 解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y 列方程得=3600 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5% 【问题3】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 【提问1】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？ （封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7） 【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗? 等量关系:中央矩形的长 设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm， 由题意得 (27-18y)(21-14y)=27 解方程得y1=（不合题意，舍去） 所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm 典例分析 例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1700台？ 【详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 由题可知， 整理得， 解得，（舍）， 则（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过1700台； 例2 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1﹣x）2=361， 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）， 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 例3 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。 解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为(x+4)cm，下底为(x+20)cm. 根据题意得(x+4+x+20)=160 整理，得x2 +12x -160= 0 解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8cm. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$