3.4圆周角和圆心角的关系（第2课时） 教学设计 -2024-2025学年北师大版数学九年级下册

本文围绕“圆周角和圆心角的关系”展开，介绍圆周角定理及圆内接四边形性质。承接几何知识基础，为后续复杂几何问题求解奠基。通过情境导入、合作探究等环节，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 本设计创新点在于结合足球场景激发兴趣，采用讲授、探究等多种教法。对学生，提升逻辑推理与问题解决能力；对教师，提供清晰授课路径；课堂上，增强互动，有效突破重难点。

教学设计 教学课题 圆周角和圆心角的关系 教学背景分析 （1）本节课的主要教学内容是关于圆周角和圆心角的关系，重点探讨了圆周角和直径的关系以及圆内接四边形的特性。 （2）本节课主要介绍了圆周角定理，包括如何利用直径所对的圆周角是直角来求解相关角度问题，以及圆内接四边形的性质，例如对角互补等。通过具体实例和题目，引导学生理解和应用这些知识点。 （3）通过学习本节课，学生能够掌握圆周角和直径的关系及其应用，学会如何通过圆周角定理来解决几何问题。此外，学生还能通过圆内接四边形的学习，增强对几何图形性质的理解和应用能力，培养观察、分析问题的能力以及逻辑推理能力。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察圆周角与直径的关系，理解圆周角定理在现实生活中的应用，如足球比赛中的传球路径分析。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过推理和验证，掌握圆周角与直径的关系，并能运用这一关系解决实际问题，如利用直径所对的圆周角是直角求角的度数。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过合作探究和问题解决，能够用数学语言准确描述圆周角与直径的关系，以及圆内接四边形的性质，如圆内接四边形的对角互补。 重难点 （1）掌握圆周角与直径的关系，并能够灵活运用这一关系解决实际问题，特别是在几何证明和计算中，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。 （2）理解圆内接四边形的性质，尤其是对角互补的性质，并能够综合运用圆周角、圆内接四边形等知识解决复杂的几何问题，提升学生的综合分析和问题解决能力。 教学方式与策略 讲授法、探究法、案例分析法、练习法 教学活动设计 一、情境导入 你喜欢足球运动吗？看过或参与过足球比赛吗？ 如图所示，球场上甲队员站在圆心 O 的位置，而乙和丙队员分别从不同的位置（都在圆周上）接到球，最终还是选择将球传给甲队员。你想知道背后的原因是什么吗？我们能否用数学知识来解释这一现象呢？ （使用这个真实情景的引入，旨在激起学生对本课内容的兴趣，并引导他们独立思考圆周角与直径之间的关系。在讨论的过程中，教师可以提问几名学生，鼓励他们尝试用已有的知识去分析这个问题。例如，可以让学生猜测这是否与某种特定的角度有关。） 二、合作探究 探究点一：圆周角和直径的关系 【类型一】 通过直径所对的圆周角为直角来求角度 如图所示，假设 BD 是圆 O 的直径，已知∠CBD 为 30°，请问此时∠A 是多少度？ A．30° B．45° C．60° D．75° 解题思路提示： 首先明确，因为 BD 是直径，所以它所对的圆周角∠BCD 是一个直角。 再观察给定的条件，我们知道∠CBD 的具体值，从而可以算出其余的部分。 最后，利用同弧所对的圆周角相等的性质完成问题解答。 （教师首先给出问题背景及图形供学生查看，接着给予足够的自主探究时间。随后邀请几位学生分享自己的答案和方法论。对于正确的解法加以肯定；错误的地方则温和地指正，并引导其发现正确路径。举例来说： 学生 1: "根据直径所对圆周角为 90° 这一点，加上已知的∠CBD=30°, 就能够推导出其它角的大小。" 老师回应: "非常好！那么具体来讲如何进行下一步计算呢？"） 【类型二】 通过添加辅助线构建直角三角形以解决复杂几何问题 参考下图配置，在圆内有四点 A、B、D 和 E 均位于圆周之上，同时满足以下两个条件： AB 构成了该圆的一个直径。 D 正好位于 BC 线段之中间位置。 基于以上信息，请完成以下两项任务： 比较 AB 与 AC 长度关系并提供相应推理过程。 当△ABC 呈现等边形状特征时，判定 E 点相对 AC 的定位情况及其原因分析。 关键线索与步骤建议： 为了简化难度系数较高的空间关系处理，可以尝试连线 AD 形成新的结构单元便于进一步操作。 注意利用好直径对应圆周角等于 90 度的基本法则以及中垂线相关性质来进行论证。 （在这一环节中，教师先向全体成员阐述清楚题意，然后组织大家分成多个小组开始合作研讨。每组内部选出代表汇总意见并向全班汇报成果。期间应留心倾听并适时介入指导，确保每一步骤都合乎逻辑且表述清晰。比如： 组 1 代表：“考虑到 AB 为半径两倍长且 D 处于 BC 中点，则……” 教师补充：“很好，请继续详细说明这部分理由是如何得出……”） 探究点二：圆内接四边形 【类型一】 运用圆内接四边形特性的实际案例分析 如下图，考虑一个特殊的四边形 ABCD 被完全包围在一个圆 O 之内。此外还有一个额外的关键点 E 延伸自 CB 线段之外。如果已知∠EBA 的大小为 125°，那么∠D 将会是多少度数呢？ A．65° B．120° C．125° D．130° 解题思路： 回顾四边形内接于圆中的核心特性之一 —— 相邻顶点夹角和总和恒定为 180 度。 逐步剖析各部分之间相互关联的角度值，最后综合起来得出目标答案。 （此部分主要考查学生对基础概念掌握程度及其灵活应用能力。教师先出示图形及数据后暂停片刻留给同学自我消化吸收机会，紧接着抽取若干名愿意发言者上前演示具体演算步骤。过程中可采取互动问答的形式增强现场氛围。） 三、课堂总结 通过本次课程，我们不仅学习了关于圆周角与直径之间的重要联系，还拓展到了更复杂的几何构造问题当中去。希望大家能够在日常生活中多加留意此类有趣的现象，并学会运用今日所学知识加以科学解读。同时别忘了平时也要多多练习哦！ 课后作业 （1）根据圆周角定理，完成以下练习：已知在圆中，直径 AB 所对的圆周角是 60°，求证：圆中另一圆周角也是 60°。 （2）应用圆内接四边形的性质，解答以下问题：在圆内接四边形中，若两对角的度数分别为 120° 和 60°，求证：该四边形为梯形。 学科网（北京）股份有限公司 $$