2.2二次函数的图象与性质 第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2 二次函数的图象与性质 第2课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 二次函数的图象与性质 1.能画出二次函数y＝ax2＋c的图象 2.掌握二次函数y＝ax2＋c的图象及其性质 3.掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c图象之间的联系. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 图象 开口 方向 对称性 顶点 最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 画出函数 y = 2x2 的图象. 列表. x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ··· y ··· ··· 4.5 2 0.5 0 4.5 2 0.5 探究一：二次函数 y = ax2 的图象与性质 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 描点，连线. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？ 二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y 轴就是它的对称轴. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0，0). 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？ 最小值是什么？ 当 x = 0 时，ymin= 0. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 问题6：它们与二次函数y=x2的图 象有什么相同和不同之处？ 开口方向、对称轴、顶点坐标相同，开口大小不同 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像 (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 函数y= x2, y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点? 当a＜0时，它 的图象又如 何呢？ x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 问题 :在同一直角坐标系中，画出函数 的图象如图所示，观察其开口方向、大小与a的值有什么关系？ 结论： （1）在二次函数y=ax2中，a＞0，开口向上，a＜0，开口向下。 （2）a的绝对值越大，开口越小. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 y＝ax2 a>0 a<0 图象位置 开口方向 对称性 顶点坐标 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 顶点坐标是原点（0，0） 最值 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点. 2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点. 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 向上 向下 y轴 y 轴 (0,0) (0,0) 4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) （1）y = 3x2 的图象是_______； （2）y = x2 的图象是_______； （3）y = -x2 的图象是_______； （4）y = x2 的图象是_______． ③ ① ④ ② o 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 探究二：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 解：先列表： x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y =2 x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 问题1：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x2 向上 (0,0) y轴 y =2 x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,1) (0,-1) y轴 y轴 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 问题2：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 问题3： 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 当x=0时，y最小值=1 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x=0时，y最小值=-1 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳总结 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项加减（上加下减）. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳小结 二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=0 直线x=0 （0,c） 当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. （0,c） 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？怎样决定的？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 2、填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 3.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 4. 已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y＝3x2－2的图象上，则（　D　）. A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 D 5. 将抛物线y＝ax2＋c向下平移5个单位长度后，得到抛物线y＝－2x2，则＝ ，c＝ ⁠. －2 5 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 6. 函数y＝ax2－a与y＝ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　D　）. A B C D D 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 7、已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值． 当x＝－1时，y＝(－1)2＝1； 当x＝4时，y＝42＝16. ∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16. －1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时， y＝16，所以最大值为16. ∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16. ∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16. 错解： 诊断： 正解： 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. c 决定顶点位置； 3.对称轴是 y 轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： c 正向上；c 负向下.（上加下减） 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$