精品解析：吉林省长春市农安县第一中学2024-2025学年九年级下学期3月考试数学试卷

交安一中2024─2025学年度第二学期 九年级数学学科第一次学情调研 调研时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2. 某物体的三视图如图所示，该物体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的圆周角，，则大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，用直尺和圆规作的平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数的图像上，延长交y轴于点D，若，则的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. =______°．（将度分秒转化成度） 10. 计算：_______． 11. 抛物线与轴只有一个交点，则_____． 12. 如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是_______． 13. 如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留根号和π）． 14. 如图，是的直径，C、D是上的点，且，分别与相交于点E、F，有下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 不透明的袋子中装有三个小球，小球上分别标有数字“1”“2”“3”，小球除标有的数字不同外其他都相同，每次摸球前先摇匀，随机摸出一个小球后。放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和是奇数的概率。 17. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 18. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求四边形的面积． 19. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 20. 图①，图②，图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积为3的钝角； （2）在图②中，画一个等腰直角； （3）在图③中，画一个面积为6的四边形，且有一个内角为． 21. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． （2）求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． （3）请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 22. 【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 23. 如图，在中，．点P从点A出发以每秒5个单位的进度沿AC向终点C匀速运动，作交射线AB于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）的长为_______； （2）当点Q与点B重合时，求的长． （3）当点Q在边上时，设与重叠部分图形的面积为S．当时，求t的值． （4）设的中点为D，连接、设点P关于的对称点为，当所在的直线与直角边垂直时，直接写出t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过点，其对称轴是直线．点在这个抛物线上，其横坐标为，点、的坐标分别为、，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当点、重合时，求的值； （3）当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为，求的值； （4）当该抛物线在矩形内部的部分的图像对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交安一中2024─2025学年度第二学期 九年级数学学科第一次学情调研 调研时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵点A向左移动3个单位长度得到点B， ∴点B代表的数字是：， 故选D； 【点睛】本题主要考查数轴上点平移规律：左减右加． 2. 某物体的三视图如图所示，该物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了组合几何体的三视图，解题的关键是会从各个面分析确定图形． 根据主视图和左视图得：该几何体上面是球体，下面是柱体，再由俯视图得：该几何体的底面为圆形，即可解答． 【详解】解：根据主视图和左视图得：该几何体上面是球体，下面是柱体， 根据俯视图得：该几何体的底面为圆形， 所以该物体为 ． 故选：D 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法运算可判断A，由合并同类项可判断B，由积的乘方运算可判断C，由单项式除以单项式可判断D，从而可得答案. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，单项式除以单项式，熟记各运算法则是解本题的关键. 4. 若，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原变形正确，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，原变形错误，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，原变形错误，故本选项符合题意； D、∵， ∴，原变形错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，是的圆周角，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质等基本知识． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 7. 如图，用直尺和圆规作的平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，，， 又∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ∴，故D不符合题意； ∴，根据现有条件无法得到，故C符合题意； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数的图像上，延长交y轴于点D，若，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过A作轴于H，连接，根据，可得，即有，结合A在反比例函数的图像上，可得，即有，证明，即有，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴于H，连接，如图： ∵是等腰三角形，轴于H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵A在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握反比例函数的图像与性质，是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. =______°．（将度分秒转化成度） 【答案】12.26° 【解析】 【分析】根据度分秒的换算，即可解答． 【详解】解：， ， 12°+0.26°=12.26°， 故答案为12.26°． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是熟记1°=60′，1′=60″． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 11. 抛物线与轴只有一个交点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式得出该抛物线的顶点坐标为，根据题意可得顶点在轴上，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为， 顶点位于轴上． ． 解得． 故答案为：． 12. 如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质，由位似的性质可得，，证明，结合题意可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比是， ∴与的面积比是， 故答案为：． 13. 如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留根号和π）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，设l交于点D， 由翻折的性质得：，，， ， ， 即是等边三角形， ，由勾股定理得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键． 14. 如图，是的直径，C、D是上的点，且，分别与相交于点E、F，有下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由是的直径得，，，，可证①；不可能是的垂直平分线，可得，可证②；是的直径，，，可证③；由③有，，点为中点，是的中位线，可证④，由此即可求解． 【详解】解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵在中，是外角， ， 在中，是外角，， 又∵， ， ∴不可能是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴，故②不正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为圆心， ∴，故③正确； ∵， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴，故④正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④. 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 不透明的袋子中装有三个小球，小球上分别标有数字“1”“2”“3”，小球除标有的数字不同外其他都相同，每次摸球前先摇匀，随机摸出一个小球后。放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和是奇数的概率。 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸到的小球上的数字之和是奇数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的小球上的数字之和是奇数的结果数有4种， ∴两次摸到的小球上的数字之和是奇数的概率为。 17. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 【答案】200件 【解析】 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每人每周投递快件200件． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定； （2）首先证明，求出和即可解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积是：， 即矩形的面积是20． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 20. 图①，图②，图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中，画一个面积为3的钝角； （2）在图②中，画一个等腰直角； （3）在图③中，画一个面积为6的四边形，且有一个内角为． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． （3） 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作一个底为2，高为3的钝角三角形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形； （3）利用数形结合的思想解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． （2）求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． （3）请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】（1）150；10 （2） （3）张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 【小问2详解】 解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 22. 【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型] 证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）；（2） 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型略 ] [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 23. 如图，在中，．点P从点A出发以每秒5个单位的进度沿AC向终点C匀速运动，作交射线AB于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）的长为_______； （2）当点Q与点B重合时，求的长． （3）当点Q在边上时，设与重叠部分图形的面积为S．当时，求t的值． （4）设的中点为D，连接、设点P关于的对称点为，当所在的直线与直角边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）20 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理解答即可； （2）如图：当点Q和B重合时，由题意可得：，进而得到，然后用勾股定理列方程求得t，进而求得； （3）动点P点A点C动，速度为5个单位/秒，可得、，再证明说明、，再根据三角形面积公式、，再根据列方程求解即可； （4）先根据中点的定义可得，然后再分、两种情况，分别画出图形，利用轴对称的特点、勾股定理、解三角形、列方程等知识解答即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴． 故答案为20． 【小问2详解】 解：如图：当点Q和B重合时，由题意可得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：∵动点P点A点C动，速度为5个单位/秒， ∴， ∵， ∴， 过P作于H，则H为中点， ∵， ∴， ∴， ， ∴,， ∴，， ∵当点Q在边AB上时，设与重叠部分图形的面积为, ∴，解得：． 【小问4详解】 解：∵的中点为D， ∴， ①如图：当P在D的左侧，，时， ∵P、关于对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵的中点为D， ∴Q为的中点， ∴， ∵，,， ∴，解得：； ②如图：当P在D的右侧，，时， 过作， 由（3）可知：， ∵， ∴，， ∴， ∵P、关于对称，， ∴， ∴，即,解得：（舍去）； 如图：当P在D的左侧，，时，过作， 由（3）可知：， ∵， ∴，， ∵P、关于对称，， ∴， ∴，即,解得：； 综上，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过点，其对称轴是直线．点在这个抛物线上，其横坐标为，点、的坐标分别为、，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当点、重合时，求的值； （3）当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为，求的值； （4）当该抛物线在矩形内部的部分的图像对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3）1 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的解析式表示出点的坐标，再利用两点重合时的性质列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）利用配方法求得抛物线的最低点的坐标，再利用函数的性质和点的坐标的特征，求得该矩形与抛物线交点的纵坐标后即可得出结论； （4）利用二次函数的性质得到函数值随增大而减小的范围，再利用矩形的性质，结合函数的图像列出关于的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线，是常数）经过点，其对称轴是直线， ，解得：， 该抛物线对应的函数关系式； 【小问2详解】 解：点在这个抛物线上，其横坐标为， ． 点、重合，点， ， 解得或； 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的开口方向向上， 抛物线的最低点为， 点在这个抛物线上，以、、、为顶点构造矩形， 抛物线的最低点不可能在，边上， 抛物线的最低点可能在，边上，即抛物线的最低点与点重合， ， ， ，， ，均在轴上， 该矩形与抛物线交点即为抛物线与轴的交点，令，则， 抛物线与轴交于， 该矩形与抛物线交点的纵坐标为， ； 【小问4详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随增大而减小， ． ，点、的坐标分别为、，以、、、为顶点构造矩形， ， 由①得：， 由②得：， 综上所述，， 当该抛物线在矩形内部的部分的图像对应的函数值随增大而减小时，的取值范围． 【点睛】本题主要考查了二次函数的特殊与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 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