第10讲 函数的表示法（知识清单+13题型讲解练+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版必修第一册）

第10讲 函数的表示法 内容预览 知识清单 知识点01函数的表示法 知识点02分段函数 知识点03函数的图象 题型讲解 【题型一】 解析法表示函数 【题型二】 图象法表示函数 【题型三】 列表法表示函数 【题型四】 已知函数类型求解析式 【题型五】求分段函数解析式或求函数的值 【题型六】 分段函数的定义域 【题型七】 已知分段函数的值求参数或自变量 【题型八】 根据函数图象选择解析式 【题型九】 根据分段函数的值域（最值）求参数 【题型十】求分段函数值 【题型十一】 画出具体函数图象 【题型十二】 函数方程组法求解析式 【题型十三】根据实际问题作函数图象 好题必刷 知识清单 知识点01函数的表示法 1．函数的三种表示方法 ⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用． ⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即． 这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质． ⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如． 优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2.求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 知识点02分段函数 1.定义：像y＝这样的函数称为分段函数． 2.分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 3.分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 知识点03函数的图象 1.描点法作函数图象的三个步骤 ①列表:先找出一些有代表性的自变量x的值,再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x）,并用表格的形式表示出来: ②描点:把第①步表格中的点(x,f（x）)在平面直角坐标系中描出来 ③连线:用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 2.画函数f(x)图象的方法 (1)直接法:若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数,则依据各函数的图象特点直接画出f(x)的图象. (2)描点法:若函数f(x)不是基本初等函数,则用描点法画出f(x)的图象,其步骤:列表、描点、连线.注意连线时,若是曲线,则曲线要光滑;若是孤立的点，则此时不要连接各点. (3)图象变换法:若函数f(x)不是基本初等函数,但是与基本初等函数有关,则可以由一个函数的图象,通过某种或多种连续方式的变换,得到另一个与之相关的函数的图象.常见的图象变换有四种基本形式:平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换:本章节我们重点了解平移变换、对称变换和翻折变换 3.求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意换元时t的取值范围． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 题型方法 【题型一】 解析法表示函数 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·云南昭通·期中）给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为 ． 【变式3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 【题型二】 图象法表示函数 【例2】（多选）（22-23高一上·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【变式1】（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【变式2】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【题型三】 列表法表示函数 【例3】（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【题型四】 已知函数类型求解析式 【例4】（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【变式2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【题型五】求分段函数解析式或求函数的值 【例5】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）下列表达式中，是分段函数且表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数则（    ） A．1 B．6 C．8 D．9 【变式3】（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则等于 ． 【题型六】 分段函数的定义域 【例6】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列求函数定义域正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【题型七】 已知分段函数的值求参数或自变量 【例7】已知函数，若，则x的可能取值为 . 【变式1】设函数若，则实数 ． 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【题型八】 根据函数图象选择解析式 【例8】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型九】 根据分段函数的值域（最值）求参数 【例9】（多选）（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·天津河西·期中）设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 【题型十】求分段函数值 【例10】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 【变式2】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【题型十一】 画出具体函数图象 【例11】（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 【变式2】（23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知函数，在给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值；    （2）已知，求的函数解析式； 【题型十二】 函数方程组法求解析式 【例12】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【变式1】（多选）（24-25高一上·河南·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【题型十三】 根据实际问题作函数图象 【例13】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 9．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 10．（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列说法中不正确的有（    ） A．函数与为同一个函数 B．已知=，则 C．函数的最小值为2 D．若的定义域为，则的定义域为 三、填空题 11．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 ． 12．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数则 . 13．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为 . 14．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 15．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 16．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且. (1)求证：； (2)求； 17．（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 18．（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的表示法 内容预览 知识清单 知识点01函数的表示法 知识点02分段函数 知识点03函数的图象 题型讲解 【题型一】 解析法表示函数 【题型二】 图象法表示函数 【题型三】 列表法表示函数 【题型四】 已知函数类型求解析式 【题型五】求分段函数解析式或求函数的值 【题型六】 分段函数的定义域 【题型七】 已知分段函数的值求参数或自变量 【题型八】 根据函数图象选择解析式 【题型九】 根据分段函数的值域（最值）求参数 【题型十】求分段函数值 【题型十一】 画出具体函数图象 【题型十二】 函数方程组法求解析式 【题型十三】根据实际问题作函数图象 好题必刷 知识清单 知识点01函数的表示法 1．函数的三种表示方法 ⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用． ⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即． 这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质． ⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如． 优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2.求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 知识点02分段函数 1.定义：像y＝这样的函数称为分段函数． 2.分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 3.分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 知识点03函数的图象 1.描点法作函数图象的三个步骤 ①列表:先找出一些有代表性的自变量x的值,再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x）,并用表格的形式表示出来: ②描点:把第①步表格中的点(x,f（x）)在平面直角坐标系中描出来 ③连线:用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 2.画函数f(x)图象的方法 (1)直接法:若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数,则依据各函数的图象特点直接画出f(x)的图象. (2)描点法:若函数f(x)不是基本初等函数,则用描点法画出f(x)的图象,其步骤:列表、描点、连线.注意连线时,若是曲线,则曲线要光滑;若是孤立的点，则此时不要连接各点. (3)图象变换法:若函数f(x)不是基本初等函数,但是与基本初等函数有关,则可以由一个函数的图象,通过某种或多种连续方式的变换,得到另一个与之相关的函数的图象.常见的图象变换有四种基本形式:平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换:本章节我们重点了解平移变换、对称变换和翻折变换 3.求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意换元时t的取值范围． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 题型方法 【题型一】 解析法表示函数 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解析法表示函数 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 【变式1】（多选）（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】解析法表示函数 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 【变式2】（23-24高一上·云南昭通·期中）给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为 ． 【答案】 【知识点】解析法表示函数 【分析】根据函数的定义和分段函数的表示方法求解即可. 【详解】令，解得， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 【答案】 【知识点】函数新定义、解析法表示函数 【分析】通过式子相乘，化简即可求得，然后利用换元法即可求得. 【详解】因为，，，，， 相乘得，， 令，则，所以. 故答案为： 【题型二】 图象法表示函数 【例2】（多选）（22-23高一上·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【答案】BCD 【知识点】图象法表示函数 【分析】根据已知图像，逐个选项判断即可. 【详解】由已知得，甲在公园休息的时间是， 所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错； 由图像知，甲从家到公园的时间是，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长， 而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确； 当时，设， 则，解得，C正确. 故选：BCD 【变式1】（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【知识点】图象法表示函数 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 【变式2】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法表示函数 【分析】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D 【变式3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、图象法表示函数 【分析】分析与的取值情况，不等式等价于或，解得即可. 【详解】由的图象可知当时，当时， 当的图象可知当时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 【题型三】 列表法表示函数 【例3】（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】列表法表示函数、求函数值 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法表示函数、已知函数值求自变量或参数 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【知识点】列表法表示函数、求函数值 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【答案】 【知识点】列表法表示函数、解析法表示函数 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【详解】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. 【题型四】 已知函数类型求解析式 【例4】（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）法一，令，得到，代入即可求解；法二，根据条件，通过配凑，即可求解； （2）设，根据条件，建立方程，即可求解. 【详解】（1）法一，设，则，得到， 所以，故. 解法二：因为， 所以. （2）设， 则， 又因为， 所以，解得， 所以． 【变式2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 【题型五】求分段函数解析式或求函数的值 【例5】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）下列表达式中，是分段函数且表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义逐个分析即可判断. 【详解】选项A不是分段函数，选项B，D定义域重合，不是函数. 故选C. 【变式2】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数则（    ） A．1 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义域代入求解. 【详解】因为已知函数， 所以，则， 故选：D 【变式3】（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则等于 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用函数的解析式，可计算得出的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 【题型六】 分段函数的定义域 【例6】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、分段函数的定义域 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 【变式1】（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列求函数定义域正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 【答案】AD 【知识点】具体函数的定义域、分段函数的定义域 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于A，对于，有，即， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，对于，有，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对于C，对于，有， 所以的定义域为，故C错误； 对于D，易知的定义域为，故D正确. 故选：AD. 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的定义域 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型七】 已知分段函数的值求参数或自变量 【例7】已知函数，若，则x的可能取值为 . 【答案】1或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或． 故答案为：1或． 【变式1】设函数若，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 【变式2】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 【题型八】 根据函数图象选择解析式 【例8】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【详解】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 【变式2】（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值. 【详解】由函数图像可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图像经过点，∴，∴. 故选：B. 【题型九】 根据分段函数的值域（最值）求参数 【例9】（多选）（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据是的最小值可得答案. 【详解】当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，为单调递减函数，所以， 若是的最小值，则， 解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·天津河西·期中）设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】对进行分类讨论，根据分段函数的解析式列不等式来求得正确答案. 【详解】当时，，不符合题意. 当时，. 所以， 由解得. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【题型十】求分段函数值 【例10】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】求分段函数值 【分析】根据分段函数的解析式可求. 【详解】由分段函数的解析式可得： ， 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 【答案】/0.25 【知识点】求分段函数值 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2) 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值 【分析】（1）根据定义域求值即可； （2）分、令，解方程可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ； （2）当时，，解得（舍）； 当时，，解得，又因，所以. 综上：实数. 【题型十一】 画出具体函数图象 【例11】（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 【知识点】画出具体函数图象 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1） （2） 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】画出具体函数图象 【分析】（1）根据函数解析式和定义域直接描点即可； （2）根据分段函数、二次函数和一次函数的特征画图即可. 【详解】（1）的图象如图所示， （2）的图象如图所示， 【变式2】（23-24高一上·云南·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 (3)答案见解析 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、画出具体函数图象 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，画出函数图象即可； 【详解】（1）因为 所以，， ． （2）当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为或或． （3）函数的图象，如图所示：    【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知函数，在给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值；    （2）已知，求的函数解析式； 【答案】（1）答案见解析，；（2） 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知f（g（x））求解析式、画出具体函数图象 【分析】（1）由函数解析式分段作出函数图象，再计算函数值； （2）用换元法，设，代入求解. 【详解】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出分段函数的图象，如图所示：    因为，所以，所以. （2）解法一（换元法）：令，则， 代入原式有， 所以. 解法二（配凑法）：， 因为， 所以 【题型十二】 函数方程组法求解析式 【例12】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 【变式1】（多选）（24-25高一上·河南·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】运用解方程组求出解析式，再赋值计算即可. 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 【变式2】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解； （2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得： ， 通过消元可得. （2）由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 【题型十三】 根据实际问题作函数图象 【例13】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据题目的描述分段分析位移s随时间t的变化趋势即可. 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 【变式3】（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、根据实际问题作函数图象 【分析】结合题意分析即可求解. 【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D， 先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适. 故选：A. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念列不等式，可得解. 【详解】由函数有意义，得，解得且， 所以原函数的定义域是． 故选：B. 3．（22-23高一上·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：D. 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值. 【详解】由条件可知，，， ，所以. 故选：D 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 6．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 【答案】CD 【分析】根据自变量分段求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 故选：CD 9．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和已知等式求出的值，再求的值即得. 【详解】当时，由可得，不合题意； 当时，由可得； 当时，由可得或,故. 当时， ； 当时， . 故选：BC. 10．（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列说法中不正确的有（    ） A．函数与为同一个函数 B．已知=，则 C．函数的最小值为2 D．若的定义域为，则的定义域为 【答案】AC 【分析】根据函数的解析式是否相同便可判断A；根据已知解析式用配凑法求解析式可判断B；根据基本不等式判断C；由抽象函数定义域求解可判断D. 【详解】对于A选项，，，解析式不同，故A不正确； 对于B选项，由=， 所以，故B正确； 对于C选项，， 但是，等号不能成立，故C不正确； 对于D选项，因为的定义域为，令，解不等式得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 ． 【答案】0 【分析】利用分段函数先求的值，再求即可. 【详解】以为. 故答案为：0. 12．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数则 . 【答案】11 【分析】结合条件利用代入法求出，再进行二次代入得到结果即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为：11 13．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】观察函数解析式的组成，列出使函数有意义的条件不等式，求解即得函数定义域. 【详解】由函数有意义，可得，解得且. 故函数的定义域为：， 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 15．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 即，解得； 且在上单调递增，可得； 且需满足，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 16．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且. (1)求证：； (2)求； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）令，，进行求解； （2）先赋值求出，从而结合，赋值求出. 【详解】（1）令，，则， ； （2）， ， ； 17．（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【详解】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 18．（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 【答案】(1)答案见解析 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的性质，结合二次函数的图象即可求解， （2）结合函数图象即可求解. 【详解】（1） 的图象如下： （2）由，结合（1）可得 ①或②， 解①得或 解②得 故的解集为或或. 19．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$