18.5 分式方程 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.5.1 分式方程及其解法 1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因. 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程. 学习目标 D C A C 1 解：去分母，得 2x＋1＝3(x－1)，解得x＝4. 检验：当x＝4时，(x－1)(2x＋1)≠0.∴原分式方程的解为x＝4； 解：去分母，得3－x＝2(x－3)，解得x＝3. 检验：当x＝3时，x(x－3)＝0， ∴x＝3不是原分式方程的解．∴原方程无解； 解：去分母，得x＋2(x－2)＝x＋2，解得x＝3. 检验：当x＝3时，(x＋2)(x－2)≠0， ∴原分式方程的解为x＝3. 小丁： 解：去分母，得x－(x－3)＝x－2. 去括号，得x－x＋3＝x－2. 合并同类项，得3＝x－2. 解得x＝5. ∴原方程的解是x＝5. 小迪： 解：去分母，得x＋(x－3)＝1. 去括号，得x＋x－3＝1. 合并同类项，得2x－3＝1. 解得x＝2. 经检验，x＝2不是原方程的解，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 解：小丁和小迪的解法都错误；正确解答过程如下： 去分母，得x＋(x－3)＝x－2， 去括号，得2x－3＝x－2，解得x＝1， 经检验：x＝1是方程的解． A －1 解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，得 3(2x－1)－2(2x＋1)＝x＋1.解得x＝6， 检验：当x＝6时，(2x＋1)(2x－1)≠0. ∴原分式方程的解为x＝6. 归纳总结 解分式方程的一般步骤： 分式方程 整式方程 a是分式方程的解 x = a a不是分式方程的解 去分母 目标 解整式方程 检验 最简公分母不为0 最简公分母为0 1.下列说法中，正确的是(　　) A.分母中含有未知数的式子就是分式方程 B.含有字母的方程叫做分式方程 C.分式方程中，分母中一定含有未知数 D.分式方程就是含有分母的方程 C 随堂检测 解：(1)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2.解方程：(1) = ; (2) = - 3 . 随堂检测 (2)方程两边乘(x-2),得 1=-(1-x)-3(x-2) 解得 x=2 检验:当x=2时, x-2=0， 因此x=2不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2.解方程：(1) = ; (2) = - 3 . 随堂检测 解：方程两边同乘 (x＋2)(x-2) 得 2(x＋2)＋mx=3(x-2)，即 (m-1)x=-10. ①当m-1=0 时，此方程无解，此时 m=1； ②整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x=2 或 x=-2. 当x=2时，(m-1)×2=-10，解得 m=-4； 当x=-2 时，(m-1)×(-2)=－10，解得 m=6. ∴m的值是1，-4或6. 1.若关于x的分式方程 + = 无解，求m的值． 能力提升 2.若关于的方程 + = 2有增根，求的值． 解：方程两边都乘以（x-2）得， 2-x-m=2（x-2）， ∵分式方程有增根， ∴x-2=0， 解得x=2， ∴2-2-m=2（2-2）， 解得m=0． 能力提升 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 课堂小结 1.若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ________________． 2.关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是________________． 3.关于x的分式方程无解，则a的值是______． 且 k＞-2且k≠2 1或3 课后作业 4.解下列分式方程： (1)； (2)． 解：（1）方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 课后作业 （2）方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 4.解下列分式方程： (1)； (2)． 课后作业 知识点1 分式方程的相关概念 1．下列关于x的方程，是分式方程的是( ) A． eq \f(x,2)－3＝ eq \f(x,5) B． eq \f(1,2)x－ eq \f(1,3)y＝5 C． eq \f(x,π)＝ eq \f(x,3)＋ eq \f(x,2) D． eq \f(1,2＋x)＝1－ eq \f(2,x) 2．已知x＝5是分式方程 eq \f(a,x－1)＝ eq \f(5,2x)的解，则a的值为( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 知识点2 解分式方程 3．(株洲中考)将关于x的分式方程 eq \f(3,2x)＝ eq \f(1,x－1)去分母可得( ) A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x C．3x－1＝x D．3x－3＝x 4．方程 eq \f(2,3x－1)＝ eq \f(3,x)的解为( ) A．x＝ eq \f(3,11) B．x＝ eq \f(11,3) C．x＝ eq \f(3,7) D．x＝ eq \f(7,3) 5．代数式 eq \f(x＋1,x)与代数式 eq \f(1,x－2)的和为1，则x＝____. 6．解方程： (1) eq \f(1,x－1)＝ eq \f(3,2x＋1)； (2) eq \f(3,x2－3x)－ eq \f(1,x－3)＝ eq \f(2,x)； (3) eq \f(x,x2－4)＋ eq \f(2,x＋2)＝ eq \f(1,x－2). 7．(嘉兴中考)小丁和小迪分别解方程 eq \f(x,x－2)－ eq \f(x－3,2－x)＝1，过程如下： 8．若分式 eq \f(x,x－5)－2与 eq \f(x＋1,x)互为相反数，则x的值为( ) A． eq \f(5,6) B．1 C．2 D．3 9．在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，则x※(－2x)＝ eq \f(3,2)的解为__________． 10．若分式方程 eq \f(x,x＋1)＝ eq \f(m,x＋1)无解，则m的值为________． x＝ eq \f(1,3) 11．解方程： eq \f(3,2x＋1)－ eq \f(2,2x－1)＝ eq \f(x＋1,4x2－1). 12．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别是－2， eq \f(x,x＋1)，且点A，B到原点的距离相等，求x的值． 解：∵点A，B到原点的距离相等，点A表示的数是－2，点B在原点的右侧， ∴点B表示的数为2，即 eq \f(x,x＋1)＝2， 解得x＝－2，经检验，x＝－2是分式方程的解.∴x的值为－2. 　 [核心素养：运算能力　应用意识　创新意识] 13．阅读材料，回答问题： 材料一： 方程x＋ eq \f(1,x)＝2＋ eq \f(1,2)的解为x1＝2，x2＝ eq \f(1,2)； 方程x＋ eq \f(1,x)＝3＋ eq \f(1,3)的解为x1＝3，x2＝ eq \f(1,3)； 方程x＋ eq \f(1,x)＝4＋ eq \f(1,4)的解为x1＝4，x2＝ eq \f(1,4)；… $$18.5.3分式方程的应用(2) ——购买问题及其他问题 C A 3．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2 400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打九折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1 056元．求该商店3月份这种商品的售价． B C 6．《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是我国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为2.2 m，宽为1.6 m的长方形，装裱后，整幅图画长与宽的比是4∶3，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． B 8．(教材习题变式)一个圆柱形容器的容积为v立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间10分钟．则大水管注水的速度为_______ 立方米/分．(用含v的代数式表示) 9．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单(下表)已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50%； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． 问：甲、乙每件商品的进价是多少元？  [核心素养：应用意识　创新意识] 10．为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1 275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件． (1)求一、二等奖奖品的单价； (2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？ 知识点1 购买问题 1．(临夏州中考)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是( ) A． eq \f(240,x)－ eq \f(240,x＋2)＝10 B． eq \f(240,x)－ eq \f(240,x－2)＝10 C． eq \f(240,x－2)－ eq \f(240,x)＝10 D． eq \f(240,x＋2)－ eq \f(240,x)＝10 2．某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程 eq \f(5 000,2x)＝ eq \f(4 000,x)－25，则方程中的x表示( ) A．篮球的数量 B．足球的数量 C．篮球的单价 D．足球的单价 解：设3月份这种商品的售价为x元/件，则4月份这种商品的售价为0.9x元/件， 依题意，得 eq \f(2 400＋1 056,0.9x)－ eq \f(2 400,x)＝30，解得x＝48， 经检验，x＝48，是原分式方程的解， ∴3月份这种商品的售价是48元/件． 知识点2 其他问题 4．某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵数相等．设第一组学生有x人，则可列方程为( ) A． eq \f(12,x)＝ eq \f(36,x－6) B． eq \f(12,x)＝ eq \f(36,x＋6) C． eq \f(36,x)＝ eq \f(12,x＋6) D． eq \f(36,x)＝ eq \f(12,x－6) 5．(宁夏中考)数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程为( ) A． eq \f(4,x)－ eq \f(6,2x)＝10 B． eq \f(6,x)－ eq \f(4,2x)＝10 C． eq \f(4,x)－ eq \f(6,2x)＝ eq \f(10,60) D． eq \f(6,x)－ eq \f(4,2x)＝ eq \f(10,60) 解：设边衬的宽度为x米，则装裱后的长为(2.2＋2x)米，宽为(1.6＋2x)米， 由题意，得 eq \f(2.2＋2x,1.6＋2x)＝ eq \f(4,3)，解得x＝0.1， 经检验，x＝0.1是原分式方程的解， 答：边衬的宽度为0.1米． 7．《四元玉鉴》是我国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈＝10尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是( ) A． eq \f(896,30－x)－120＝ eq \f(896,x) B． eq \f(896,30－x)＋ eq \f(896,x)＝120 C．120＋ eq \f(896,x)＝ eq \f(896,30＋x) D． eq \f(896,x)＝ eq \f(896,30－x)＋120 eq \f(v,4) 解：设每件乙商品的进价是x元，则每件甲商品的进价是(1＋50%)x元， 根据题意，得 eq \f(9 300,(1＋50%)x)－ eq \f(3 200,x)＝60，解得x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意， ∴(1＋50%)x＝(1＋50%)×50＝75. 答：每件甲商品的进价是75元，每件乙商品的进价是50元． 解：(1)设一等奖奖品单价为4x元/件，则二等奖奖品单价为3x元/件， 依题意，得 eq \f(600,4x)＋ eq \f(1 275－600,3x)＝25，解得x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， ∴4x＝60，3x＝45. 答：一等奖奖品的单价为60元/件，二等奖奖品单价为45元/件； (2)设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件， 依题意，得60m＋45n＝1 275， ∴n＝ eq \f(85－4m,3). ∵m，n均为正整数，且4≤m≤10， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝23))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝7，,n＝19))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝15.)) ∴共有3种购买方案， 方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品； 方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品； 方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品． $$