核心微练88-89-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(八十八)　正态分布 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,则P(X<0)=(B) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 解析　随机变量X 服从正态分布N(a,4),所以正态曲线关于直线x=a 对称,且P(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5,可知a=1,所以P(X<0)=P(X>2)=0.3.故选B. 2.(2024·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a-3),则实数a的值为(B) A.1 B. C.5 D.9 解析　因为P(X>a+2)=P(X<2a-3),所以由正态曲线的对称性知=2,解得a=.故选B. 3.若随机变量X服从正态分布N(1,σ2),其正态密度曲线如图所示,则下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是(D) A.-P(X≤0) B.-P(X≥2) C.P(X≤2)-P(X≤0) D.-P(1≤X≤2) 解析　根据正态分布的性质可知,正态密度曲线关于直线x=1对称,所以题图中阴影部分的面积为-P(X≤0),A正确;根据对称性,P(X≤0)=P(X≥2),B正确;阴影部分的面积也可以表示为,C正确;阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正确. 4.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生的考试成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(502,144),模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为(C) (附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.0.682 7 B.0.658 65 C.0.841 35 D.0.341 35 解析　因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.682 7,所以P(X<490)≈=0.158 65,即P(X≥490)≈1-0.158 65=0.841 35.故选C. 5.设随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)=(C) A.0.7 B.0.8 C.0.2 D.0.3 解析　因为随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.故选C. 6.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=(C) A.- B.0 C. D.1 解析　因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ==.故选C. 二、多项选择题 7.(2025·常州调研)已知在数学测验中,某校学生的成绩服从正态分布N(110,81),其中90分为及格线,则下列结论中正确的有(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5)(ABD) A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% 解析　因为该校学生的成绩服从正态分布N(110,81),则μ=110,方差σ2=81,标准差σ=9,因为μ-2σ=110-2×9=92,P(ξ≥90)>P(ξ>92)=P(ξ>μ-2σ)=+P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈+×0.954 5=0.977 25>0.95,所以该校学生成绩的期望为110,标准差为9,该校学生成绩及格率超过95%.所以A,B,D正确,C错误. 8.(2025·浙江联考)若随机变量X~N(12,9),则下列选项正确的是(ABC) A.P(X≥12)=0.5 B.P(X≤9)=P(X≥15) C.E=35 D.D=12 解析　对于A选项,变量X~N(12,9),这里μ=12,所以P(X≥12)=0.5,A选项正确;对于B选项,因为正态分布图象关于直线x=12对称,9=12-3,15=12+3.根据正态分布的对称性,P(X≤9)=P(X≥15),B选项正确;对于C选项,若X~N(12,9),则E(X)=12.对于Y=3X-1,根据期望的性质E(aX+b)=aE(X)+b.所以E(3X-1)=3E(X)-1=3×12-1=35,C选项正确;对于D选项,若X~N(12,9),则D(X)=9,对于Y=2X-1,根据方差的性质D(aX+b)=a2D(X).所以D(2X-1)=22×D(X)=4×9=36,D选项错误.故选ABC. 三、填空题 9.某地区语文考试的成绩X服从正态分布,其分布密度函数图象如图所示,成绩X位于区间(52,68)的概率是 0.682 7 .  参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解析　设成绩X~N(μ,σ2),则正态分布密度函数f(x)=.由题图可知参数μ=60,=,即σ=8,所以P(52<X<68)=P(60-8<X<60+8)=0.682 7,所以X位于区间(52,68)的概率是0.682 7. 10.(2025·湖南郴州模拟)国家公务员考试笔试的公共科目包括行政职业能力测验和申论两科,满分均为100分,行政职业能力测验科目的考生成绩X服从正态分布N(75,σ2).若P(60≤X≤90)=,则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生,至少有2名考生的成绩高于90分的概率为  .  解析　因为考生成绩服从正态分布N(75,σ2),所以P(X>90)==,故任意选取3名考生,至少有2名考生的成绩高于90分的概率为P=××+=. 11.某学校组织1 200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析,学生的平均成绩=80,方差s2=25.学校要对成绩高于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为平均数,σ2近似为方差s2),则估计获表彰的学生人数为 27 .(四舍五入,保留整数)  参考数据:随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解析　由题意得μ=80,σ=5,μ+2σ=90,故P(X>90)=P(X>μ+2σ)≈-×0.954 5=0.022 75,所以1 200×0.022 75=27.3≈27. 四、解答题 12.为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格. 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为,s2,经计算(xi-)2=1 690,=33 050. (1)求; (2)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ,σ2),用,s2的值分别作为μ,σ2的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y,求Y的数学期望E(Y). 附:若ξ~N(μ,σ2), 则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3. 解　(1)=×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56. (2)由(1),知=56,s2=(xi-)2=×1 690=169,所以μ=56,σ=13.因为P(30≤X≤82)=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的概率约为0.954 5,故Y~B(100,0.954 5),所以E(Y)=100×0.954 5=95.45. 13.一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下,生产的零件尺寸z(单位:mm)服从正态分布N(200,σ2),且P(z≤210)=0.9. (1)求z<190的概率; (2)若从该条生产线上随机选取2个零件,设X表示零件尺寸小于190 mm的零件个数,求X的分布列与数学期望. 解　(1)因为零件尺寸z服从正态分布N(200,σ2),所以P(z>210)=1-P(z≤210)=0.1.因为=200,所以P(z<190)=P(z>210)=0.1. (2)依题意可得X~B(2,0.1),所以P(X=0)=(1-0.1)2=0.81,P(X=1)=×0.1×(1-0.1)=0.18,P(X=2)=0.12=0.01,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 所以E(X)=1×0.18+2×0.01=0.2(或E(X)=2×0.1=0.2). B级　素能提升 14.(多选题)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项,某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位:秒)服从正态分布N(8,σ2),且P(ξ≤7)=0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个,其中成绩在(7,9)的个数记为X,则(BD) A.P(7<ξ<9)=0.8 B.E(X)=1.8 C.E(ξ)>E(5X) D.P(X≥1)>0.9 解析　由正态分布的对称性可知P(ξ≤7)=P(ξ≥9)=0.2,故P(7<ξ<9)=1-0.2×2=0.6,故A错误;X~B(3,0.6),故E(X)=3×0.6=1.8,故B正确;E(ξ)=8,E(5X)=5E(X)=5×1.8=9,故E(ξ)<E(5X),故C错误;因为X~B(3,0.6),所以P(X=0)=(0.6)0×(0.4)3=0.064,故P(X≥1)=1-0.064=0.936>0.9,故D正确. 15.(2025·长沙调研)已知随机变量X,Y分别满足X~B(8,p),Y~N(μ,σ2),且E(X)=E(Y),若P(Y≥3)=,则p=(C) A. B. C. D. 解析　由Y~N(μ,σ2)和P(Y≥3)=,得μ=3,所以E(X)=E(Y)=3,又X~B(8,p),所以E(X)=8p=3,所以p=. 16.(2025·甘肃靖远高三模拟)某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后,每天团购券的核销量X~N(100,256)(单位:张),则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是(D) (若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.191 B.137 C.159 D.164 解析　由题可知μ=100,σ=16,P(84≤X≤132)=≈=0.818 6.故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是200×0.818 6=163.72≈164.故选D. 微练(八十九)　概率与函数、数列 　　　　　　　　　　　　　 1.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中,硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的,其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期,某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产,试产期同步进行产品检测,检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成,包含安全检测、电池检测、性能检测三项指标,人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测,且仅设置一个综合指标,四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品,智能检测三项指标的达标率分别约为,,,设人工抽检的综合指标不达标率为p(0<p<1). (1)求每个芯片智能检测不达标的概率; (2)人工抽检30个芯片,记恰有1个不达标的概率为φ(p),求φ(p)的极大值点p0; (3)若芯片的合格率不超过96%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的p0作为p的值,判断该企业是否需对生产工序进行改良. 解　(1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为P1,P2,P3,并记芯片智能检测不达标为事件A.视指标的达标率为任取一件新产品,该项指标达标的概率,则有P1=,P2=,P3=,由对立事件的性质及事件独立性的定义得,P(A)=1-P1P2P3=1-××=,所以每个芯片智能检测不达标的概率为. (2)人工抽检30个芯片恰有1个不达标的概率为φ(p)=p1(1-p)29(0<p<1),因此φ'(p)=[(1-p)29-29p(1-p)28]=(1-p)28(1-30p).令φ'(p)=0,得p=.当p∈时,φ'(p)>0;当p∈时,φ'(p)<0,则φ(p)在上单调递增,在上单调递减,所以φ(p)有唯一的极大值点p0=. (3)记“芯片人工抽检达标”为事件B,“工人在流水线上进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品”为事件C,由(2),得P(C)=P(B|)=1-p=,由(1),得P()=1-P(A)=,所以P(B)=P()·P(B|)=×≈93.8%<96%,因此,该企业需对生产工序进行改良. 2.随着信息技术的飞速进步,大数据的应用领域正日益扩大,它正成为推动社会进步的关键力量.某研究机构开发了一款数据分析软件,该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶段,若输入的数据集质量高,则软件分析准确的概率为0.8;若数据集质量低,则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1. (1)求一次数据能被软件准确分析的概率; (2)在连续n(n≥8)次测试中,每次输入一个数据集,每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分析的数据集个数为X. ①求X的方差; ②当n为何值时,P(X=8)的值最大? 解　(1)记“输入的数据集质量高”为事件A,“一次数据能被软件准确分析”为事件B,由题意可知:P()=0.1,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.3,则P(A)=1-P()=0.9,所以P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A)=0.75.所以一次数据能被软件准确分析的概率为0.75. (2)由(1)可知P(B)=0.75=, ①依题意,X~B,所以X的方差D(X)=. ②可知P(X=8)==,令an=,则==,令>1,解得n≤9,可知当n≤9,可得an+1>an;令<1,解得n≥10,可知当n≥10,可得an+1<an;于是a1<a2<a3…<a10>a11>a12>…,所以当n=10时,an最大,即n=10时,P(X=8)的值最大. 3.某学校食堂有A,B两家餐厅,张同学第1天选择A餐厅用餐的概率为.从第2天起,如果前一天选择A餐厅用餐,那么次日选择A餐厅用餐的概率为;如果前一天选择B餐厅用餐,那么次日选择A餐厅用餐的概率为.设他第n天选择A餐厅用餐的概率为Pn. (1)求P2的值及Pn+1关于Pn的表达式; (2)证明数列{Pn-}是等比数列,并求出{Pn}的通项公式. 解　(1)设An=“第n天去A餐厅用餐”,Bn=“第n天去B餐厅用餐”,则Ω=An∪Bn,且An与Bn互斥.根据题意得,P1=P(A1)=,P(B1)=1-P(A1)=,P(Bn)=1-P(An),P(An+1|An)=,P(An+1|Bn)=,P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=×+×=,Pn+1=P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(Bn)P(An+1|Bn)=Pn+(1-Pn),即Pn+1=Pn+. (2)Pn+1-=-=Pn-=,又因为P1-=-≠0,所以是以-为首项,为公比的等比数列,所以Pn-=×,从而Pn=-. 4.夏日天气炎热,学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮,某同学每天都会在两种凉饮中选择一种,已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是,若前一天选择绿豆汤,后一天继续选择绿豆汤的概率为,而前一天选择银耳羹,后一天继续选择银耳羹的概率为,如此往复. (1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率; (2)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn,证明:为等比数列; (3)求从第1天到第10天中,该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数. 解　(1)设A1表示第1天选择绿豆汤,A2表示第2天选择绿豆汤,则表示第1天选择银耳羹,根据题意得,P(A1)=,P()=,P(A2|A1)=,P(A2|)=1-=,所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()·P(A2|)=×+×=. (2)设An表示第n天选择绿豆汤,则Pn=P(An),P()=1-Pn,根据题意,得P(An+1|An)=,P(An+1|)=1-=,由全概率公式得,P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P()·P(An+1|)=Pn+(1-Pn)=-Pn+,即Pn+1=-Pn+,整理,得Pn+1-=-,又P1-=≠0,所以是以为首项,-为公比的等比数列. (3)由(2),得Pn=+×,由题意,只需Pn>1-Pn,即Pn>(n=1,2,…,10),则+×>,即>(n=1,2,…,10),显然n必为奇数,n为偶数时不成立,当n=1,3,5,7,9时,考虑=>的解,当n=1时,1>显然成立,当n=3时,-<0,不成立,由y=在定义域内单调递减得,n=5,7,9时,也不成立.综上,该同学只有1天选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$