核心微练83-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(八十三)　随机事件、频率与概率 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列说法正确的是(D) A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率是 B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次正面向上 C.某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报 D.大量试验后,可以用频率近似估计概率 解析　对于A,可得中靶的结果是频率,不是概率,故错误,对于B,C,太过绝对,故错误,对于D,符合概率的估算方法,故正确.故选D. 2.对某班60名同学的一次数学成绩进行统计,如果80~90这一组的频数是18,那么这个班的学生这次数学测验,成绩在80~90分之间的频率是(D) A.18 B.0.4 C.0.35 D.0.3 解析　由题意,成绩在80~90分之间的频率是=0.3.故选D. 3.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(A) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球 解析　从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球,不可能发生,故选A. 4.掷两颗骰子,观察掷得的点数.设事件A为:至少一个点数是奇数;事件B为:点数之和是偶数, 事件A的概率为P(A), 事件B的概率为P(B). 则P(A∩B)是下列哪个事件的概率(C) A.两个点数都是偶数 B.至多有一个点数是偶数 C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 解析　掷两颗骰子,观察掷得的点数,事件A为:至少一个点数是奇数,事件B为:点数之和是偶数,所以 A∩B为点数全是奇数. P(A∩B)表示点数全是奇数的概率.故选C. 5.已知事件A,B互斥,P(A∪B)=,且P(A)=2P(B),则P()=(D) A. B. C. D. 解析　依题意,解得P(B)=,P()=1-=.故选D. 6.(2025·江西上饶月考)如图,一个质点从原点O出发,每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度,向左的概率为,向右的概率为,共移动4次,则该质点共两次到达1的位置的概率为(A) A. B. C. D. 解析　共移动4次,该质点共两次到达1的位置的方式有O→1→O→1和O→1→2→1,且两种方式第4次移动向左向右均可以,所以该质点共两次到达1的位置的概率为××+××=.故选A. 二、多项选择题 7.已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(A∪B)=,P(A∪C)=,则(ACD) A.P(B)= B.P(C)= C.P(B∪C)= D.P(B∩C)=0 解析　因为事件A,B,C两两互斥,所以P(B∩C)=0,故D正确;P(A∪B)=P(A)+P(B)=+P(B)=,则P(B)=,故A正确;P(A∪C)=P(A)+P(C)=+P(C)=,则P(C)=,故B错误;P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=,故C正确.故选ACD. 8.小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示: 所需时间(分钟) 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(BD) A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间 C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该选线路一 D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A错误;线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(分钟),线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(分钟),所以线路一比线路二更节省时间,B正确;线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,C错误;所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,D正确.故选BD. 三、填空题 9.已知某艺术协会的会员中,有的会员喜爱书画或戏曲,有的会员喜爱书画,有的会员同时喜爱书画、戏曲.现从该协会中随机抽取一名会员,该会员喜爱戏曲的概率为  .  解析　记事件A=“该会员喜爱书画”,事件B=“该会员喜爱戏曲”,由题意,知P(A∪B)=,P(A)=,P(A∩B)=,由概率的基本性质,知P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),则=+P(B)-,解得P(B)=,即从该协会中随机抽取一人,该会员喜爱戏曲的概率为. 10.某城市2024年的空气质量状况如下表所示: 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为  .  解析　由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率P=++=. 11.某工厂有四条流水线生产同一种产品,这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.3,0.25,这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98,现在从出厂产品中任取一件,则恰好抽到不合格产品的概率是 0.034 .  解析　由题意可知,恰好抽到不合格产品的概率为P=0.2×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034. 四、解答题 12.经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下.求: 排队人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排队等候的概率; (2)至少3人排队等候的概率. 解　记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)解法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 解法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 13.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到如下试验结果: A配方的频数分布表 质量指标 值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 质量指标 值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率; (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润. 解　(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3,所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42,所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为=0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). B级　素能提升 14.(多选题)从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球,则下列说法正确的是(BD) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 解析　“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生,不是互斥事件,故A错误;“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”,可以同时发生,故B正确;“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”,与“恰好有两个黑球”,不同时发生,还有可能都是红球,不是对立事件,故C错误;“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,与“都是红球”,不同时发生,但一定会有一个发生,是对立事件,故D正确.故选BD. 15.已知事件A与事件B是互斥事件,则(D) A.P(∩)=1 B.P(A∩B)=P(A)P(B) C.P(A)=1-P(B) D.P(∪)=1 解析　若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A={1,3},B={2,4},则事件A与事件B是互斥事件,此时∩={5,6},A∩B=⌀,P(A)=P(B)=,所以P(∩)=,A错误;P(A∩B)=0,P(A)P(B)=,P(A∩B)≠P(A)·P(B),B错误;P(A)≠1-P(B),C错误;因为事件A与事件B是互斥事件,所以A∩B=⌀,所以∪为必然事件,所以P(∪)=1,D正确.故选D. 16.(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为  .  解析　1+2+3+…+8=36,三张卡片上的数字之和为18有873,864,765三种情况,故P==. 学科网（北京）股份有限公司 $$