核心微练86 离散型随机变量及其分布列与数字特征-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

离散型随机变量及其分布列与数字特征 微练(八十六) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 B级　素能提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 2 3 P m 2m 则E(X)＝(　　) A．2 B． C． D．1 由＋3m＝1，解得m＝，则E(X)＝0×＋2×＋3×＝. 2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，i＝1,2,3，则a＝(　　) A．3 B． C．2 D． 根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，i＝1,2,3，则有＋＋＝1，解得a＝3.故选A. 3．公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0,1,2,3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是(　　) A． B． C． D． 设任取1盆的编号为随机变量X，则X的可能取值为0,1,2，…，9，且P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝9)＝，所以P(X>5)＝P(X＝6)＋P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＝＝.故选B. 4．(2025·绵阳诊断)若离散型随机变量X的分布列如下，E(X)＝0，D(X)＝1，则P(X<1)＝(　　) X －1 0 1 2 P a b c A． B． C． D． 由题意，知a＋b＋c＋＝1　①.由E(X)＝0，即E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，得－a＋c＋＝0　②.由D(X)＝1，即D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，得a＋c＋＝1　③.联立①②③解得a＝，b＝，c＝，又因为P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)，所以P(X<1)＝a＋b＝. 5．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在(0,1)内增大时，(　　) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 由题可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－2＋，所以当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D. 6．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为 甲产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高． 二、多项选择题 7．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是(　　) A．E(X)＝12 B．E(X)＝ C．m＝ D．n＝ 根据分布列可知m＋n＝1－－＝　①，因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝，又由分布列可得E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，整理得2m＋3n＝　②，联立①②解得m＝，n＝. 8．(2025·淄博调研)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则(　　) A．X的所有可能取值是3,4,5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是 记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B,2A1B,3A，A使用后成为B，故X的所有可能取值是3,4,5，故A正确；P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以X最有可能的取值是4，故B错误，C正确；E(X)＝3×＋4×＋5×＝，故D错误．故选AC. 三、填空题 9．随机变量ξ的分布列如下：其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)＝________. ξ －1 0 1 P a b c 根据分布列可得解得则P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝a＋c＝. 10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示. ξ －2 0 2 P a b 若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________. 11 由表中数据，得E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×＝，解得a＝，又a＋b＋＝1，所以b＝，所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11. 11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为 p(0<p<1)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围为_______． 由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<，又p∈(0,1)，所以p∈. 四、解答题 12．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中所有的白球的个数； (1)设袋中的白球个数为n(n≥2，n∈N*)，由题意可得＝＝＝，整理可得n2－n－6＝0，又因为n≥2且n∈N*，解得n＝3，因此，袋中白球的个数为3. (2)求随机变量X的分布列； (2)由题意可知，随机变量X的可能取值有1、2、3、4、5，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝×××＝，P(X＝5)＝×××＝，所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 P (3)求乙取到白球的概率． (3)由题意可知，记事件A：乙取到白球，则事件A即为“第二次或第四次取到白球”，所以，P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 13．(2024·济南一模)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数． (1)求在X>0的条件下，X＝的概率； (1)记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间为Ω＝{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，则n(Ω)＝36，记事件“A＝X>0”，记事件“B＝X＝＝”，则A＝{(a，b)|1≤a≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，且n(A)＝21，又AB＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，则n(AB)＝14，所以P(B|A)＝＝＝，即在X>0的条件下，X＝的概率为. (2)求X的分布列及其数学期望． (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 14．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为＋的是(　　) A．P(ξ≤1) B．P(ξ＝1) C．P(ξ>1) D．P(ξ>2) P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，故P(ξ≤1)＝＋，A正确，其他选项，均不合要求．故选A. 15．已知随机变量ξ的分布列如下表所示．其中，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与ξ的期望分别是__________. ξ －1 0 1 P b c ，－ 因为，b，c成等差数列，所以2b＝＋c，又b＋＋c＝1，所以b＝，c＝，所以P(|ξ|＝1)＝＋c＝，根据分布列的性质，E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－. 16．袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球．每次从中任取2个球，然后放回2个红球．设第一次取到白球的个数为ξ，则ξ的均 值E(ξ)＝________；第二次取到1个白球1个红球的概率为________． 　 由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.记事件Ai：第一次取到的白球有i个，其中i＝0,1,2，则P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，记事件B：第二次取到1个白球1个红球，则P(B|A0)＝ ＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，由全概率公式可得P(B)＝ (Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝. $$