核心微练85 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 微练(八十五) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 B级　素能提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则P(A＋B)＝(　　) A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 因为事件A，B相互独立，故P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.4－0.2＝0.7. 2．(2025·娄底五校联考)甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(　　) A．p1p2p3 B．1－p1p2p3 C．(1－p1)(1－p2)(1－p3) D．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3) 因为三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，所以三次交接棒不失误的概率分别是1－p1,1－p2,1－p3.因为三次交接棒相互独立，所以此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3)． 3．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加学校的艺术班，有美术、书法、音乐、舞蹈四种课程，每人限报其中一种，记事件A为“四名同学所报课程各不相同”，事件B为“只有甲一人报书法班”，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 解法一：根据题意，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四种课程，每人有4种选择，则有4×4×4×4＝44 种报名方法，事件B 为“只有甲一人报书法班”，则剩余三人报其他三种课程，共有3×3×3＝27 种报名方法，P(B)＝，若A，B同时发生，即四名同学所报课程各不相同且只有甲同学一人报书法班，有A＝6 种报名方法，则P(AB)＝，故P(A|B)＝＝＝.故选B. 解法二：本题可用缩小样本空间法，则P＝＝.故选B. 4．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为3,4,6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A＝“摸到的两个小球标号相同”，事件B＝“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则(　　) A．事件A和B相等 B．事件A和B互相对立 C．事件A和B相互独立 D．事件A和B互斥 由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,4)，(1,6)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,6)}；事件A＝{(3,3)，(4,4)}；事件B＝{(1,4)，(1,6)，(3,4)，(3,6)，(4,3)}，对于选项A：因为A≠B，所以事件A和B不相等，故A错误；对于选项BD：因为事件AB＝∅，A∪B＝{(1,4)，(1,6)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,4)}≠Ω，所以事件A和B互斥，事件A和B不互相对立，故B错误，D正确；对于选项C：因为n(Ω)＝9，n(A)＝2，n(B)＝5，n(AB)＝0，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝0，显然P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A和B不相互独立，故C错误．故选D. 5．(2025·昆明调考)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝，P(BC)＝，P(C)＝，则P(A|C)的值等于(　　) A． B． C． D． 由题意，P(B|C)＝＝，因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，所以P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝－＝. 6．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得往右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为(　　) 0 1 2 3 A． B． C． D． 设事件“第i(i∈N*)次划拳甲赢”为Ai，事件“第i(i∈N*)次划拳甲平局”为Bi，事件“第i(i∈N*)次划拳甲输”为Ci，则P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P(X＝3)＝2P(A1)P(B2)P(A3)＋2P(B1)P(A2)·P(A3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋2P(A1)P(B2)P(B3)＋2P(B1)P(A2)P(B3)＋2P(B1)P(B2)P(A3)＋2P(C1)P(A2)·P(A3)＝2×××＋2×××＋××＋2×××＋2×××＋2×××＋2×××＝.故选D. 二、多项选择题 7．已知随机事件A与B相互独立，且事件B发生的概率为0.4，事件A发生且B不发生的概率为0.3，则(　　) A．事件A发生的概率为0.6 B．事件B发生且A不发生的概率为0.2 C．事件A或B发生的概率为0.9 D．事件A与B同时发生的概率为0.2 依题意事件A 与B 相互独立，P(B)＝0.4，P()＝0.6，P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·0.6＝0.3，所以P(A)＝0.5，A错误；P()＝0.5，所以P(B)＝P()·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，B正确；事件A 或B 发生的概率为1－P()＝1－P()·P()＝1－0.5×0.6＝0.7，C错误；P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，D正确． 8．(2025·广东模拟)中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化．某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加．除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2∶1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(　　) A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)＝P(A)P(C|A)＝×0.6＝，故A正确；对于B，李明获胜的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×0.6＋×0.5＝，故B正确；对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率 为P(A|C)＝＝＝，故C正确；对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B|C)＝＝＝＝，故D错误．故选ABC. 三、填空题 9．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为m，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则m＝________. 由题意可知，×(1－m)＋(1－)×m＝，解得m＝. 10．(2025·遵义模拟)公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少2人在规定时间内完成任务的概率为________． 3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3 人中恰有2人完成任务或3人都完成任务．其概率为P＝××＋××＋××＋××＝. 11．某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为________；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为________． 　 设事件A为小明母亲参加活动，设事件B为小明父亲参加活动，由题意可得P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝，因为P(AB)＝P(B|A)P(A)＝，所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为＝. 四、解答题 12．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率； (1)第四盘棋甲赢分两种情况：若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，P1＝×＝；若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，P2＝×＝.设事件A为“第四盘棋甲赢”，则第四盘棋甲赢的概率为P(A)＝P1＋P2＝＋＝. (2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． (2)若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况：若甲第三盘赢，P3＝××＝；若甲第四盘赢，P4＝××＝；若甲第五盘赢，P5＝××＝.设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，则比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为P(B)＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝. 13．有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔)；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线)；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞 赛一等奖 自主招 生通过 高考达 重点线 高考达该 校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．(注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取) (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (1)设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率P()＝1－0.5＝0.5. ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率P(A)＝0.5×(1－0.2)＝0.4.则该学生参加自主招生考试的概率P1＝P()＋P(A)＝0.5＋0.4＝0.9. (2)求该学生被该校录取的概率． (2)设该学生自主招生考试通过并且高考达到重点分数线录取的事件为C，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件为D.P(AB)＝0.5×0.2＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2＝P(AB)＋P(C)＋P(D)＝0.838. 14．(多选题)一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球．下列说法正确的是(　　) A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率是 设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到红球”．对于A，P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝，A正确；对于B，取到两个球还可能为一个红球和一个白球，所以“取到两个红球”和“取到两个白球”不是互为对立事件，B错误；对于C，P(B1)＝，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝×＋×＝，P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝ ≠P(B1)P(B2)，所以“第一次取到红球”和“第二次取到红球”不是互为独立事件，C错误；对于D，由C知P(B2)＝，P(A1|B2)＝＝＝＝，D正确． 15．在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)利用该频率分布直方图，估计这200 名候选者面试成绩的平均数(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表)； (1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005，所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，解得b＝0.025，估计平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5. (2)从成绩在第四、五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率． (2)成绩在第四、五两组的频率之比为0.02∶0.005＝4∶1，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为10×＝8，第五组志愿者人数为10×＝2，记事件A为“选出三人来自不同组”，记事件B为“恰有2人来自第四组”， 故A∩B＝B，其中P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为. $$