核心微练84 古典概型、概率的性质-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

古典概型、概率的性质 微练(八十四) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 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从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，不同的取法种数为C＝56；从圆内接正八边形的8个顶点中任取2个顶点连成线段，其中有4条为圆的直径，所以可以构成直角三角形的个数为4×6＝24.故所求概率P＝＝.故选D. 6．(2025·厦门模拟)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为(　　) A． B． C． D． 由已知条件得，将12人任意分成3组(每组4个人)，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为＝. 二、多项选择题 7．设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取1球是白球”，则(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(AB)＝ D．P(B)＝ 从甲袋中任取1球是红球的概率为P(A)＝，故A正确；P(AB)＝＝，故C错误；P(B)＝＝，故D正确；P(B)＝P(AB)＋P(B)＝＋＝，故B正确．故选ABD. 8．(2025·山东临沂期末)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个球，记事件A＝“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件B＝“两个球中至多一个黑球”，事件C＝“两个球均为白球”，则(　　) A．P(A)＝ B．P(A＋C)＝ C．P(AB)＝ D．P(B)＝P() 记3个白球为E，F，G,2个黑球为a，b，随机取出2个球的事件如下，(E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，(a，b)，共10种取法．事件A对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(A)＝＝，故A正确；事件B对应的基本事件有(E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(B)＝，事件C对应的基本事件有(E，F)，(E，G)，(F，G)，所以P(C)＝，又P()＝1－P(C)＝1－＝≠P(B)，故D 错误；其中A＋C对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，所以P(A＋C)＝，故B正确；AB对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(AB)＝＝，故C错误．故选AB. 三、填空题 9．已知P(A∪B)＝，P(A)＝，P()＝，则P(A∩B)＝________. 由题意得P(B)＝.由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，得P(A∩B)＝＋－＝. 10．(2025·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质．现从2,4,8,16,32,64,128这7个数中随机 选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________． 从7个数中随机选取4个不同的数共有C＝35种不同的选法．因为2＝21,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25,64＝26,128＝27，所以具有“准等比”性质的4个数有{2,16,4,8}，{2,32,4,16}，{2,64,8,16}，{2,64,4,32}，{2,128,4,64}，{2,128,8,32}，{4,64,8,32}，{4,128,16,32}，{4,128,8,64}，{8,16,4,32}，{16,32,8,64}，{16,64,8,128}，{32,64,16,128}，共13种．所以这4个数具有“准等比”性质的概率为. 11．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，则log3(x＋y)≥2的概率为________． 由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，样本点共有6×6＝36(个)．又由log3(x＋y)≥2，可得x＋y≥9，其所对应的样本点为(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共10个，故所求概率P＝＝. 四、解答题 12．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队 走进社区，走进群众，开展主 题为“与民同心，为您守护” 的宣传活动，为了让宣传更加 全面有效，某个分队随机选择 了200位市民进行宣传，这些市 民年龄的样本数据的频率分布 直方图如图： (1)请估计这200位市民的平均年龄(同组数据用组中值代替)； (1)由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：5×0.01＋15×0.02＋25×0.12＋35×0.17＋45×0.23＋55×0.2＋65×0.17＋75×0.06＋85×0.02＝47.9. (2)现用分层抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70,80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率． (2)样本中年龄在区间[20,30)的频率为0.012×10＝0.12，年龄在区间[70,80)的频率为0.006×10＝0.06，则年龄在区间[20,30)抽取6×＝4人，分别记作a，b，c，d，年龄在区间[70,80)抽取6×＝2 人，分别记作A，B，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率P＝. 13．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率． (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C，则P(B)＝＝，P(C)＝＝.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为. 14．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(A∩C)＝10，n(A∪D)＝60，则(注：n(A)表示集合A的元素个数)(　　) A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 对于A，因为n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，则n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，故A，B互斥，A错误；对于B，因为n(A∪D)＝n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，所以A，D互斥且对立，B错误；对于C，因为n(C)＝20，n(A∩C)＝10，A，D对立，则n(D∩C)＝n(C)－n(A∩C)＝10≠0，C与D不互斥，C错误；对于D，由P(A)＝＝，P(C)＝＝，P(A∩C)＝＝，所以P(A∩C)＝P(A)P(C)，即A与C相互独立，D正确．故选D. 15．(2025·辽宁丹东高三期末)甲、乙、丙等5人被安排到A，B，C三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为(　　) A． B． C． D． 根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到A，B，C三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按1,1,3和1,2,2分组，再分配到三个社区，共有CA＋＝150种不同的安排方法，其中甲乙在一个社区的共有CA＋CA＝36种，则甲乙不去同一个社区的概率为P＝1－＝.故选A. 16．已知a，b∈{－2，－1,1,2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1,1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是________． 向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0，且m与n的方向不同，即m·n＝a＋b>0，则满足条件的向量m的坐标为(－1,2)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，其中当m＝(1,1)或m＝(2,2)时，m与n同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有4×4＝16(种)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是＝. $$