核心微练40 三角函数模型及解三角形的实际应用-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

三角函数模型及解三角形的实际应用 微练(四十) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 B级　素能提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1. 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上． 2．沪苏通长江公铁大桥(如图①)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE＝30°，∠ACE＝45°(如图②)，设乘客眼睛离地面的距离为DM＝CN＝h，CD＝a(h>0，a>0)．若D，C，E在同一水平高度，且AD，AC，AB在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔AB高为(　　) A．a＋h B．a＋h C．(＋1)a＋h D．(－1)a＋h 在Rt△ADE中，AE＝DEtan 30°＝DE，则DE＝AE，在Rt△ACE中，AE＝CEtan 45°＝CE，CD＝DE－CE＝AE－AE＝(－1)AE＝a，解得AE＝＝a，所以主塔AB＝AE＋BE＝a＋h.故选A. 3．(2024·太原模拟)已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进24米到达C处，然后起脚射门，则A，C两点间的距离为(　　) A．8米 B．8米 C．32米 D．8米 如图，根据题意可知，AB＝16米，BC＝24米，∠ABC＝120°，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°＝162＋242－2×16×24×，解得AC＝8(米)． 4．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　) A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向 如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝＝＝24，AD＝24，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以解得CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故 ∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD>AC，故 ∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，此时灯塔C 位于游轮的南偏西60°方向．故选C. 5．矗立在上饶市市民公园(如图①)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图②，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为(　　) A．15 m B．10 m C．6 m D．5 m 设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h，在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝＝，在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC＝＝，因为∠ABO＋∠OBC＝π，所以＋＝0，即800－h2＝0，解得h＝10. 二、多项选择题 6. 如图所示，为了测量A，B两处岛屿间的距离，小明在D处观测到，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是(　　) A．∠CAD＝60° B．A，D之间的距离为15海里 C．A，B两处岛屿间的距离为15海里 D．B，D之间的距离为30海里 由题意可知CD＝30，∠ADC＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝90°－∠BCA＝90°－60°＝30°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－105°－30°＝45°≠60°，故A错误；∠ADB＝15°＋45°＝60°，在△ACD中，由正弦定理得＝，得AD＝＝ 15(海里)，故B正确；在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝30海里≠30海里，故D错误；在△ABD中，由余弦定理得，AB＝＝＝15(海里)，故C正确．故选BC. 三、填空题 7．甲船在A处观察到乙船在它北偏东60° 的方向，两船相距a海里，乙船正在向正北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ 方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ＝________. 30°　 如图所示，∠CAB＝60°－θ ，∠B＝120° ，设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x，则BC＝x，AC＝x.在△ABC 中，根据正弦定理＝，即＝，得 sin(60°－θ)＝， 又60°－θ 为锐角，所以60°－θ＝30°，得θ＝30° . 8．在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动速度不变，大约________h后气象台所在地开始受到影响．(结果取整数，参考数据：≈1.4，≈2.6) 2 如图，设气象台所在地为O，台风中心为A，约t h后气象台所在地开始受到影响，t h后台风中心移动至B处，∠BAO＝45°，在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250，由余弦定理得2502＝(40t)2＋3002－2×300×40t×，整理得16t2－120t＋275＝0，解得t1＝，t2＝，依题意保留t1＝≈2， 故约2 h后开始影响气象台所在地． 四、解答题 9．如图，为了测量隧道口A，B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶400米到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处，测得B，D间的距离为1 000米． (1)若隧道口B在点D的北偏东θ度的方向上，求cos θ的值； (1)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠CDB＝，由题可知，∠CDB<90°，所以cos∠CDB＝，即cos θ＝. (2)求隧道口A，B间的距离． (2)由(1)可知，cos∠ADB＝sin∠CDB＝.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2·BD·ADcos∠ADB＝1 0002＋(400)2－2×1 000×400×＝1 000 000，所以AB＝1 000， 故隧道口A，B间的距离为1 000米． 10．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝千米， AN＝千米． (1)求线段MN的长度； (1)在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 120°＝3＋3－2×××＝9，得MN＝3，所以线段MN的长度为3千米． (2)若∠MPN＝60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值． (2)设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°－α，在△PMN中，由正弦定理，得＝＝＝＝2，所以PM＝2sin(120°－α)，PN＝2sin α，因此PM＋PN＝2sin(120°－α)＋2sin α＝2＋2sin α＝3sin α＋3cos α＝6sin(α＋30°)．因为0°<α<120°，所以30°<α＋30°<150°.所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN取到最大值6.所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米． 11. 如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深 CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. － 如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，则DF＝＝＝(m)，DE＝＝＝100(m)，EF＝＝＝130(m)，在△DEF中，由余弦定理得cos∠DEF＝＝ ＝－. $$