核心微练37 余弦定理、正弦定理-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

余弦定理、正弦定理 微练(三十七) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 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解法二：由余弦定理得BC＝＝1，设BC边上的高为h，则S△ABC＝AB·AC·sin＝×1×h，解得h＝.故选C. 6．(2025·石家庄质检)在△ABC中，若2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　) A． B． C． D． 因为2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，则2－2sin2A＋cos Bcos C－sin Bsin C＝2－2sin2B－2sin2C＋cos Bcos C＋sin Bsin C，整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc，再由余弦定理得cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，故A＝. 二、多项选择题 7．(2025·张家口质检)下列命题中正确的是(　　) A．在△ABC中，A>B，则sin A<sin B B．在锐角△ABC中，sin A>cos B恒成立 C．若＝＝，则△ABC必是等边三角形 D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，错误；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，因为A＋B>，所以>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，所以sin A>cos B恒成立，正确；对于C，＝＝，由正弦定理＝＝，得tan A＝tan B＝tan C，又A，B，C为三角形内角，所以A＝B＝C，△ABC为等边三角形，正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，正确．故选BCD. 8．由下列条件解△ABC，其中有一解的是(　　) A．b＝20，A＝45°，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60° C．a＝11，b＝6，A＝45° D．a＝9，c＝10，A＝30° 对于A，由b＝20，A＝45°，C＝80°，B＝180°－A－C＝55°，由正弦定理可得＝＝，由a＝和c＝可知a和c只有唯一解，所以△ABC只有唯一解，因此A正确；对于B，因为a＝30，c＝28，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可知b只有唯一解，所以三角形的三个边唯一确定，即△ABC只有唯一解，因此B正确；对于C，因为a＝11，b＝6，A＝45°，由正弦定理得＝，即sin B＝＝× ＝<，又b<a，所以B<45°，所以角B只有唯一解，即△ABC只有唯一解，因此C正确；对于D，因为a＝9，c＝10，A＝30°，由正弦定理得＝，所以sin C＝＝×＝>，又c>a，所以C>A＝30°，所以角C有两个解，即△ABC有两个解，因此D不正确．故选ABC. 三、填空题 9．在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,3AD＝4BD，则cos A＝________. 因为CD为角C的平分线，所以＝＝，因为3AD＝4BD，所以＝，不妨设AC＝4x，BC＝3x，x>0，如图，在△ABC中，＝，B＝2A，所以＝⇒＝，因为sin A≠0，x≠0，所以＝3，所以cos A＝. 10．(2025·江西部分学校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若cos B＝，且△ABC的周长和面积分别是10和2，则b＝________. 3 因为cos B＝，所以sin B＝，所以acsin B＝ac＝2，所以ac＝16.因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，则68－20b＝8，解得b＝3. 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，(1＋)c＝2b，则B＝________. 解法一：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，又b＝c，所以a＝c.由正弦定理得＝，所以sin C＝sin A＝·sin＝.因为c<b，所以C为锐角，C＝，所以B＝π－－＝. 解法二：在△ABC中，由(1＋)c＝2b及正弦定理得(1＋)·sin C＝2sin B．因为A＝，所以(1＋)sin＝2sin B，展开得cos B＋sin B＝2sin B，化简整理得tan B＝＝＝tan，所以B＝. 四、解答题 12．(2025·沧衡联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin＝asin B． (1)求A的大小； (1)因为bsin＝asin B，所以sin Bsin＝sin Asin B．因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin＝sin A，所以sin A－cos A＝sin A，即sin A＝－cos A，所以tan A＝－，又0<A<π，所以A＝. (2)若a＝4，且△ABC的面积是，求b＋c的值． (2)因为△ABC的面积是，所以bcsin A＝bc＝，解得bc＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2＋bc＝16，则(b＋c)2－bc＝16，即(b＋c)2＝16＋bc＝20，故b＋c＝2. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝，a＝3. (1)求角A； (1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得到2sin Bcos A－sin Ccos A＝cos Csin A，即2sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A＝sin(C＋A)＝sin B，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，得到cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)若点D在边AC上，且＝＋，求△BCD面积的最大值． (2)如图，因为＝＋，所以＝＋＝＋＋＝＋＝，又S△BCD＝S△ABC＝×bcsin A＝bcsin＝bc，又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得32＝b2＋c2－2bccos≥2bc－bc＝bc，所以bc≤9，所以S△BCD＝bc≤×9＝，当且 仅当b＝c＝3取等号，所以△BCD面积的最大值为. 14．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若sin2C＝2sin2A－3sin2B，则tan B的最大值为(　　) A． B． C． D． 由题意sin2C＝2sin2A－3sin2B，由正弦定理得c2＝2a2－3b2，化简得b2＝a2－c2，由余弦定理得cos B＝＝＝＝×≥×＝，当且仅当a＝2c时等号成立，从而可得B为锐角，所以≤cos B<1，得≤cos2B<1，则1<≤，所以tan2B＝＝＝－1∈，所以tan B的最大值为，故选A. 15．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术．如图，原纸片为一圆形，直径AB＝20 cm，需要剪去四边形ACDC1，可以通过对折、沿DC，AC裁剪、展开实现．已知点C在圆上，且AD＝5 cm，∠DCA＝45°，则四边形ACDC1的面积为________cm2. 30　 如图所示，设圆心为O，连接BC，OC，∠DCA＝45°，∠BCA＝90°，故CD平分∠BCA，＝＝.又AC2＋BC2＝202，解得AC＝2，BC＝6，CD≥＝6，在△ACD中，AD2＝CD2＋AC2－2CD·ACcos 45°，即CD2－4CD＋15＝0，解得CD＝3或CD＝ (舍去)．故S△ACD＝CD·CAsin 45°＝×3×2× ＝15，故四边形ACDC1的面积为30. 16．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsin C－ccos B＝c. (1)BD是边AC上的中线，BD＝2，且a2＋c2＝10，求AC的长度； (1)bsin C－ccos B＝c，由正弦定理，得sin Bsin C－sin Ccos B＝sin C，因为0<C<π，sin C>0，所以sin B－cos B＝1，所以sin＝，因为0<B<π，所以B－＝，解得B＝，因为＝(＋)，所以4＝(2＋2·＋2)，16＝c2＋2accos B＋a2＝c2＋ac＋a2，又因为c2＋a2＝10，所以ac＝6，在△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝10－6＝4，所以b＝2，即AC＝2. (2)若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围． (2)由题设S＝acsin B＝c＝sin C＝＝＝＝＋，因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，0<C＝－A<，从而<A<，可得tan A>，所以0<<，则△ABC面积的取值范围是. $$