核心微练28 导数与函数的零点问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

导数与函数的零点问题 微练(二十八) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 8 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1．已知函数f(x)＝(x－1)ex－x2. (1)求函数的单调区间； (1)由题可得f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝ln 2，令f′(x)<0，解得0<x<ln 2；令f′(x)>0，解得x<0或x>ln 2，所以f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)求f(x)的零点个数； (2)因为f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，由于f(0)＝－1<0，则f(x)在(－∞，0)上无零点；由于f(ln 2)＝2(ln 2－1)－(ln 2)2<0，则f(x)在(0，ln 2)上无零点；由于f(2)＝e2－4>0，则f(x)在(ln 2,2)上存在唯一零点．综上，函数f(x)在R上存在唯一零点． (3)g(x)＝f(x)－m在区间上有两个零点，求m的范围． (3)若g(x)＝f(x)－m在区间上有两个零点，则函数y＝f(x)与y＝m在区间上有两个交点．由(1)知，f(x)在(－1,0)上单调递增，上单调递减，f(－1)＝－－1，f(0)＝－1<0，f＝－－>f(－1)，所以函数y＝f(x) 与y＝m在区间上有两个交点，则－－≤m<－1， 即g(x)＝f(x)－m在区间上有两个零点， 则m的范围为. 2．已知函数f(x)＝x2＋ln x－x(a≠0)． (1)当a＝时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (1)当a＝时，f(x)＝2x2＋ln x－4x，则f′(x)＝4x＋－4，可得f′(1)＝1，且f(1)＝2＋ln 1－4＝－2，即函数f(x)的图象在点(1，－2)处的切线斜率k＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0. (2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值(参考数据：ln 3<，ln 4>)． (2)由F(x)＝af(x)－x2＝aln x－(2a＋1)x，因为F(x)<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立，即aln x－(2a＋1)x<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立，即a<在(1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x>1，可得h′(x)＝，令t(x) ＝ln x－－1(x>1)，易得t(x)在(1，＋∞)上单调递增，且t(3)<0，t(4)>0，所以存在x0∈(3,4)，使得t(x0)＝ln x0－－1＝0，从而h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝x0∈(3,4)，因为a<在(1，＋∞)上恒成立，所以a<h(x)min＝x0，所以整数a的最大值为3. 3．已知函数f(x)＝ex－ax. (1)当a＝0时，若直线l过原点且与曲线y＝f(x)相切，求l的方程； (1)当a＝0时，f(x)＝ex，设直线l的方程为y＝kx，曲线y＝f(x)与直线l相切于点(x0，y0)，因为f′(x)＝ex，所以k＝f′(x0)＝ex0　①，又点(x0，y0)既在曲线y＝f(x)上，又在直线y＝kx上，所以ex0＝kx0②，由①②得ex0＝x0ex0，所以x0＝1，所以k＝ex0＝e，故l的方程为y＝ex. (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． (2)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．要使得f(x)有两个零点，则f(ln a)＝a－aln a<0，即a>e，当a>e时，f(0)＝1>0，所以f(x)在区间(0，ln a)有一个零点，设函数g(x)＝ex－x2(x>0)，则g′(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，则h′(x)＝ex －2，所以h(x)在区间(0，ln 2)内单调递减，在区间(ln 2，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(ln 2)＝2－2ln 2>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝1>0，故ex>x2(x>0)，所以f(a)>a2－a2＝0，f(x)在区间(ln a，a)内有一个零点，故f(x)有两个零点．综上所述，a的取值范围是(e，＋∞)． 4．(2025·太原模拟节选)已知函数f(x)＝xex－x－1，讨论方程f(x)＝ln x＋m－2的实根个数． 由f(x)＝ln x＋m－2，得xex－x－ln x＋1＝m，x>0，令h(x)＝xex－x－ln x＋1，则h′(x)＝ex＋xex－1－＝(x>0)，令m(x)＝xex－1(x>0)，则m′(x)＝(x＋1)ex>0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 m＝－1<0，m(1)＝e－1>0，所以存在x0∈，使得m(x0)＝0，即ex0＝，从而ln x0＝－x0.当x∈(0，x0)时，m(x)<0，h′(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，m(x)>0，h′(x)>0，则h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(x0)＝x0ex0－x0－ln x0＋1＝x0·－x0＋x0＋1＝2，又易知，当x→0＋时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞.所以当m<2时，方程f(x)＝ln x＋m－2没有实根；当m＝2时，方程f(x)＝ln x＋m－2有1个实根；当m>2时，方程f(x)＝ln x＋m－2有2个实根． $$