核心微练25 三次函数的图象与性质-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

三次函数的图象与性质 微练(二十五) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1. 设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数．图中所示的是y＝xf′(x)的图象的一部分．则f(x)的极大值与极小值分别是(　　) A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1) C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2) 易知，y＝xf′(x)有三个零点x＝0，±2，因为f′(x)为二次函数，所以，它有两个零点x＝±2，由图象易知，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，故f(2)是极小值，类似地可知，f(－2)是极大值．故选C. 2．若函数y＝f(x)，其中f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，函数y＝f(x)是严格增函数，则下列结论中正确的是(　　) A．b2－4ac>0 B．b2－4ac≤0 C．b2－3ac>0 D．b2－3ac≤0 因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题设知f′(x)≥0恒成立，则由得到b2－3ac≤0，故选D. 3．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道(图中虚线)与两条直道(图中实线)平滑连续(相切)，已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　) A．y＝x3－x B．y＝x3－x2－x C．y＝－x3＋x D．y＝－x3＋x2＋x 由题意设三次函数的解析式为f(x)＝ax(x－2)(x＋b)，即f(x)＝ax3＋a(b－2)x2－2abx，f′(x)＝3ax2＋2a(b－2)x－2ab，所以解得所以f(x)＝x(x－2)(x＋2)＝x3－x，故选A. 4．已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　) A．[0,1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0,2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1，得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2.故选C. 5．经过点P(1，－2)可以作与曲线2x3－3x－y＝0相切的不同直线共有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 设切点为(x0,2x－3x0)，y′＝6x2－3，则切线的斜率为6x－3，又切线过点P(1，－2)，所以2x－3x0＋2＝(6x－3)(x0－1)，则4x－6x＋1＝0，设g(x0)＝4x－6x＋1，则g′(x0)＝12x－12x0，令g′(x0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，当x0∈(－∞，0)和x0∈(1，＋∞)时g′(x0)>0，函数g(x0)单调递增，当x0∈(0,1)时g′(x0)<0，函数g(x0)单调递减，又g(－1)＝－4－6＋1＝－9<0，g(0)＝1>0，g(1)＝4－6＋1＝－1<0，g(2)＝4×8－6×4＋1＝9>0, 所以存在x1∈(－∞，0)，g(x1)＝0；x2∈(0,1)，g(x2)＝0；x3∈(1，＋∞)，g(x3)＝0，所以g(x0)＝4x－6x＋1与x轴有3个交点，则经过P(1，－2)有3条切线．故选D. 二、多项选择题 6．在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是(　　) 当f′(x)>0时，y＝f(x)是单调递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是单调递减的．A，B中函数的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而C，D错误．故选CD. 三、填空题 7．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1)瓶子半径为________时，能使每瓶饮料的利润最大； 6 cm (1)由题意可知，每瓶饮料的利润f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0<r≤6，所以f′(r)＝0.8π(r2－2r)．令f′(r)＝0，解得r＝2.当r∈(0,2)时，f′(r)<0，f(r)单调递减；当r∈(2,6)时，f′(r)>0，f(r)单调递增．因此(1)瓶子半径为6 cm时，每瓶饮料的利润最大； (2)瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最小． 2 cm (2)瓶子半径为2 cm时，每瓶饮料的利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶子饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 8．已知函数f(x)＝x3＋ex－1＋mx－3，若当x∈(1,2)时，函数f(x)存在最小值，则实数m的取值范围是________________． (－e－4，－2) 由题意可得f(x)在x∈(1,2)时有最小值，即f′(x)＝x2＋ex－1＋m在(1,2)上有极小值即可，因为f′(x)＝x2＋ex－1＋m在x∈(1,2)上单调递增，所以只需即解得－e－4<m<－2，这时存在x0∈(1,2)，使得f(x)在区间(1，x0)上单调递减，在区间[x0,2]上单调递增，即函数f(x)在区间(1,2)上有极小值也即是最小值．所以m的取值范围是(－e－4，－2)． 四、解答题 9．已知函数f(x)＝2ax3＋(3－a)x2－2x. (1)若a＝1，求f(x)在[－2,2]上的最值； (1)由a＝1时，可得f(x)＝2x3＋2x2－2x，则f′(x)＝6x2＋4x－2＝2(x＋1)(3x－1)，当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以函数f(x)在[－2，－1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又由f(－2)＝－4，f(－1)＝2，f＝－，f(2)＝20，所以函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，最小值为－4. (2)若f(x)在R上单调递减，求a的值． (2)由函数f(x)＝2ax3＋(3－a)x2－2x，可得f′(x)＝6ax2＋(6－2a)x－2，因为函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，则满足整理得(6＋2a)2≤0且a<0，解得a＝－3. 10．函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，函数f′(x)的导函数是f″(x)，已知函数f(x)＝x3－4ax2－3a2x＋2. (1)若f″(4)＝0，求a的值和函数f(x)的单调区间； (1)由题可知，f′(x)＝3x2－8ax－3a2，f″(x)＝6x－8a，f″(4)＝6×4－8a＝0，解得a＝3.所以f(x)＝x3－12x2－27x＋2，f′(x)＝3x2－24x－27.令f′(x)>0，得x<－1或x>9；令f′(x)<0，得－1<x<9，所以函数f(x)的单调递减区间为(－1,9)，单调递增区间为(－∞，－1)和(9，＋∞)． (2)若f″(m)＝0(m>0)，讨论f(x)的零点个数． (2)由(1)可知，f″(x)＝6x－8a，f″(m)＝6m－8a＝0，m＝>0，所以a>0.令f′(x)>0，解得x<－或x>3a；令f′(x)<0，解得－<x<3a.所以f(x)的单调递减区间为(－，3a)，单调递增区间为和(3a，＋∞)，所以f(x)的极小值为f(3a)＝2－18a3，f(x)的极大值为f＝2＋a3>0. 当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故当2－18a3<0，即a>时，f(x)有三个零点；当2－18a3＝0，即a＝时，f(x)有两个零点；当2－18a3>0，即0<a<时，f(x)有一个零点． $$