核心微练24 导数与函数的最值-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

导数与函数的最值 微练(二十四) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 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2 3 4 B级　素能提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．函数f(x)＝在[0,2]上的最小值是(　　) A． B． C．0 D． 因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，当x∈[0,1]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x＝0时，f(0)＝0，当x＝2时，f(2)＝，所以函数f(x)的最小值为0. 2．函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1,2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 因为函数定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2x＋(a－1)－＝，设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，所以g(x)＝0有两个不同实根．又g(0)＝－3<0，所以g(x)＝0两根一正一负，由题意正根在(1,2)内，所以解得－<a<2，故选A. 3．若函数f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间(a，a＋1)上存在最大值，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－1,2) C． D． 因为f′(x)＝ex(－x2＋2x＋a－2x＋2)＝ex(－x2＋a＋2)，且函数f(x)在区间(a，a＋1)上存在最大值，故只需h(x)＝－x2＋a＋2满足h(a)＞0，h(a＋1)＜0，所以－a2＋a＋2＞0，－(a＋1)2＋a＋2＜0，解得＜a＜2. 4．设函数f(x)＝ex－2x，直线y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，则2a＋b的最大值是(　　) A．e－1 B．－1 C．2e－4 D．e2－4 由题得f′(x)＝ex－2.设切点为(t，f(t))，则f(t)＝et－2t，f′(t)＝et－2，则切线方程为y－(et－2t)＝(et－2)(x－t)，即y＝(et－2)x＋et(1－t)．又因为y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，所以a＝et－2，b＝et(1－t)，则2a＋b＝－4＋3et－tet.令g(t)＝－4＋3et－tet，则g′(t)＝(2－t)et，则当t＞2时，g′(t)＜0，g(t)在(2，＋∞)上单调递减；当t＜2时，g′(t)＞0，g(t)在(－∞，2)上单调递增．所以g(t)max＝g(2)＝－4＋3e2－2e2＝－4＋e2，即2a＋b的最大值为e2－4.故选D. 5．曲线y＝ln x(0<x<2)的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为(　　) A． B．2 C．1 D．2ln 设曲线y＝ln x的切点为(t，ln t)，0<t<2，由y＝ln x，求导得y′＝，则切线方程为y＝(x－t)＋ln t，令x＝0，得y＝ln t－1；令y＝0，得x＝t－tln t，因此该切线与坐标轴围成的三角形面积S(t)＝|t－tln t|·|ln t－1|＝t(ln t－1)2，求导得S′(t)＝(ln t－1)(ln t＋1)，当0<t<时，S′(t)>0；当<t<2时，S′(t)<0，因此函数S(t)在上单调递增，在上单调递减，S(t)max＝S＝，所以该切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为.故选A. 6．函数f(x)＝x2－sin x，若f(x)在上有最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－1,0) 由题意，函数f(x)＝x2－sin x，可得f′(x)＝ax－cos x，若a≤0，当x∈时，可得f′(x)＜0，f(x)在上单调递减，此时函数f(x)在上没有最小值，不符合题意；若a＞0，令f′(x)＝0，即ax－cos x＝0，画出函数y＝ax与y＝cos x的图象，如图所示，可得存在x0∈，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，此时 函数f(x)在上有最小值，符合题意，综上 可得，实数a的取值范围是(0，＋∞)． 二、多项选择题 7．对于函数f(x)＝－2ln x＋x2－3x，下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增 B．x＝2是函数f(x)的极大值点 C．f(x)的单调递减区间是(0,2) D．函数f(x)的最小值为－2ln 2－2 因为f(x)＝－2ln x＋x2－3x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－＋2x－3＝＝，令f′(x)＝0，则x＝2，令f′(x)<0，解得0<x<2，令f′(x)>0，解得x>2，所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，x＝2是函数f(x)的极小值点，故A、C正确，B错误；又f(x)min＝f(2)＝－2ln 2＋4－6＝－2ln 2－2，故D正确．故选ACD. 8．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表： f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论中，一定正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有2个 B．函数f(x)在[0,2]上单调递减 C．当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 由题中f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有2个极大值点，故A正确；易知函数f(x)在[0,2]上单调递减，故B正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，当f(2)≤1,1<a<2时，易知f(x)＝a有四个不相等的实数根；当1<f(2)<2,1<a<2时，易知f(x)＝a不一定有四个不相等的实数根，故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确，故D错误．故选AB. 三、填空题 9．函数f(x)＝x3－x2－3x＋6在[－4,4]上的最大值为________，最小值为________． 　 － 易知f′(x)＝x2－2x－3，故当x<－1或x>3时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1,3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3.又f(－4)＝－，f(4)＝－，故f(x)max＝，f(x)min＝－. 10．(2025·沧衡联考)已知函数f(x)＝ln x－aeax，若对任意的x≥，f(x)≤0成立，则正数a的取值范围是___________． 由f(x)≤0，即ln x－aeax≤0，得ln x≤aeax.因为x≥，所以xln x≤axeax＝eaxln eax.设g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x＋1.因为x≥，所以g′(x)≥0， 所以g(x)在上单调递增．因为xln x≤eaxln eax，所以g(x)≤g(eax)．因为ax>0，所以eax>1，又因为g(x)在上单调递增，所以x≤eax，所以ln x≤ax，所以a≥.设h(x)＝，则h′(x)＝.由h′(x)<0，得x>e，则h(x)在(e，＋∞)上单调递减；由h′(x)>0，得≤x<e，则h(x)在(0，e)上单调递增．故h(x)≤h(e)＝，即a≥. 11．已知f(x)＝x3－x在区间(m,6－m2)上有最小值，则实数m的取值范围是________． [－2,1) 由函数f(x)＝x3－x，可得f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增；当－1<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，即x＝1为函数f(x)的极小值点；要使得函数y＝ f(x)在区间(m,6－m2)上有最小值，则满足即因为m3－m≥－，可得m3－3m＋2≥0，即(m－1)2(m＋2)≥0，解得m≥－2，所以－2≤m<1，即实数m的取值为[－2,1)． 四、解答题 12．已知函数f(x)＝ex－2ax－1. (1)若a＝1，求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值与最小值； (1)因为f(x)＝ex－2x－1，所以f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x∈(－1，ln 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln 2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)min＝1－2ln 2.又因为f(－1)＝e－1＋1，f(2)＝e2－5，所以f(2)>f(－1)，所以f(x)max＝e2－5，f(x)min＝1－2ln 2. (2)若函数f(x)的最小值为0，求实数a的值． (2)f′(x)＝ex－2a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，无最小值，不满足题意．当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(2a)．当x<ln(2a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln(2a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln(2a)时，f(x)min＝2a[1－ln(2a)]－1＝0.令h(x)＝x(1－ln x)－1(x>0)，h′(x)＝－ln x，令h′(x)＝0，则x＝1.当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)max＝h(1)＝0，所以2a＝1，即a＝，故实数a的值为. 13．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (1)由f(x)＝ln x－ax，知f′(x)＝－a，定义域为(0，＋∞)，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，则0<x<，f(x)在上单调递增；令f′(x)<0，则x>，f(x)在上单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)当函数f(x)有最大值，且最大值小于a－2时，求a的取值范围． (2)由(1)知，若f(x)有最大值，则a>0，且f(x)max＝f＝－ln a－1，因为f(x)的最大值小于a－2，所以－ln a－1<a－2，即a＋ln a－1>0，设g(a)＝a＋ln a－1，问题转化为解不等式g(a)>0，因为g′(a)＝1＋>0恒成立，所以g(a)在a∈(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(a)>0＝g(1)，所以a>1，故a的取值范围为(1，＋∞)． 14．(多选题)已知函数f(x)＝e2x－2ex－12x，则下列说法正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋12y＝0垂直 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递增 C．f(x)的极小值为3－12ln 3 D．f(x)在[－2,1]上的最小值为3－12ln 3 因为f(x)＝e2x－2ex－12x，所以f′(x)＝2e2x－2ex－12＝2(ex－3)(ex＋2)，所以f′(0)＝－12，故A错误；令f′(x)>0，解得x>ln 3，所以f(x)的单调递增区间为(ln 3，＋∞)，而(2，＋∞)⊆(ln 3，＋∞)，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；当x<ln 3时f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln 3)，所以f(x)的极小值为f(ln 3)＝3－12ln 3，故C正确；f(x)在[－2,1]上单调递减，所以最小值为f(1)＝e2－2e－12，故D错误．故选BC. 15．设函数f(x)＝已知x1<x2，且f(x1)＝f(x2)，若x2－x1的最小值为，则a的值为________． 1 如图，令f(x1)＝f(x2)＝t，则t∈(－∞，－a]． 因为x1<x2，则x1－a＝t，ln x2＝t，可得x1＝t＋a， x2＝et，则x2－x1＝et－t－a.令g(t)＝et－t－a(t≤ －a)，则g′(t)＝et－1(t≤－a)，当－a≤0时， 即a≥0时，g′(t)≤0在(－∞，－a]内恒成立， 可知g(t)在(－∞，－a]上单调递减，则g(t)≥g(－a)＝e－a＋a－a＝e－a＝，解得a＝1，经检验满足题意；当－a>0时，即a<0时，令g′(t)<0，解得t<0，令g′(t)>0，解得0<t<－a，可知g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，－a]上单调递增，则g(t)≥g(0)＝e0－a＝，解得a＝1－>0，这与a<0矛盾，舍去．综上所述，a＝1. 16．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本p(x)万元，当产量不足50万件时，p(x)＝x2＋160；当产量不小于50万件时，p(x)＝201＋－.每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完． (1)求利润函数的解析式； (1)由题意得，销售收入为200x万元．当产量不足50万件时，p(x)＝x2＋160，利润为f(x)＝200x－x·p(x)－300＝200x－x·－300＝－x3＋40x－300；当产量不小于50万件时，p(x)＝201＋－，利润为f(x)＝200x－x·p(x)－300＝200x－x－300＝－x－＋1 160.所以利润函数为f(x)＝ (2)求利润函数的最大值． (2)当0<x<50时，f′(x)＝－(x＋40)(x－40)，所以当0<x<40时，f′(x)>0，f(x)在(0,40)上单调递增，当40<x<50时，f′(x)<0，f(x)在(40,50)上单调递减，所以当x＝40时，f(x)取得最大值f(40)＝；当x≥50时，f(x)＝－＋1 160≤－2＋1 160＝1 000，当且仅当x＝，即x＝80时，等号成立，又1 000>，故当x＝80时，所获利润最大，最大值为1 000万元． $$