核心微练23 导数与函数的极值-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

导数与函数的极值 微练(二十三) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 A级　基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 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12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点是(　　) A．1 B． C．－3 D．(－3,8) f′(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1. 2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 f′(x)＝＋2ax－3(x>0)，因为f(x)在x＝2处取得极小值，所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－. 3．若函数f(x)＝6aln x＋x2－(a＋6)x(x>0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，6)∪(6，＋∞) B．(0,6)∪(6，＋∞) C．{6} D．(0，＋∞) f′(x)＝＋x－(a＋6)＝(x>0)，因为函数f(x) 有2个极值点，所以f′(x)＝0 有2个不同的正实数根，所以a>0 且a≠6，即实数a 的取值范围是(0,6)∪(6，＋∞)．故选B. 4．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝(　　) A．－2或－7 B．－4或－11 C．11 D．－7 根据题意，f′(x)＝3x2＋6ax＋b，因为函数f(x)在x＝－1处有极值0，所以f′(－1)＝3－6a＋b＝0且f(－1)＝－1＋3a－b＋a2＝0，所以a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.a＝1，b＝3时f′(x)＝3x2＋6x＋3≥0恒成立，此时函数无极值点，当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，此时x＝－1是函数的极值点，满足条件，所以a＝2，b＝9，所以a－b＝－7.故选D. 5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(1)>f(2) B．f(x)在区间(－2,5)内有2个极值点 C．f(x)在区间(3,4)上是增函数 D．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于0 由导函数y＝f′(x)的部分图象可得，当－2<x<－1或2<x<4时，f′(x)<0，当－1<x<2或4<x<5时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－2，－1)，(2,4)上单调递减，在(－1,2)，(4,5)上单调递增，所以f(x)在区间(－2,5)内有3个极值点，故BC错误；所以f(1)<f(2)，故A错误；曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为f′(0)>0，故D正确．故选D. 6．(2025·吉林模拟)若函数f(x)＝aln x＋－x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(2，＋∞) 由题意可知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－－1＝－，若函数f(x)既有极大值也有极小值，则x2－ax＋3＝0有2个不相等的正根x1，x2，则解得a>2，所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．故选D. 二、多项选择题 7．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值为2 B．曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－x＋1 C．函数f(x)在x＝2处取得极小值 D．函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)∪(2，＋∞) 由题可得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2；令f′(x)>0，解得x<0或x>2；令f′(x)<0，解得0<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，故D错误；当x＝0时，f(x)取极大值为f(0)＝2，函数f(x)在x＝2时取极小值，故AC正确；因为f′(1)＝－3，所以y＝f(x)在点(1,0)的切线方程为y＝－3x＋3，故B错误．故选AC. 8．已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为(　　) A．－ B． C．－1 D．0 f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意1,3是f′(x)＝0的两个根，则a≠0，所以解得a＝－，b＝2.故f(x)＝－x3＋2x2－3x＋k.易求得函数f(x)的极大值为f(3)＝k，极小值为f(1)＝－＋k.当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞.要使函数f(x)有两个零点，则f(x)的极大值k＝0或f(x)的极小值－＋k＝0，所以k＝0或k＝. 三、填空题 9．设f(x)＝(x2－8)ex，则函数y＝f(x)的极大值点为________． －4 由f(x)＝(x2－8)ex，可得f′(x)＝2xex＋(x2－8)ex＝(x2＋2x－8)ex＝(x－2)(x＋4)ex，令f′(x)＝0，解得x1＝－4，x2＝2，令f′(x)>0，解得x<－4或x>2，所以f(x)在(－∞－4)，(2，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，解得－4<x<2，所以f(x)在(－4,2)上单调递减，故函数y＝f(x)的极大值点为－4. 10．已知x＝ln 2是函数f(x)＝ex＋ax的极小值点，则a＝________. －2 因为f(x)＝ex＋ax，所以f′(x)＝ex＋a.又x＝ln 2是f(x)的极小值点，所以f′(ln 2)＝2＋a＝0，解得a＝－2.当a＝－2时，f′(x)＝ex－2，当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以a＝－2时，x＝ln 2是f(x)的极小值点．故a＝－2. 11．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则＋的最小值为________． 由题意得f′(x)＝12x2－2ax－2b，因为f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，所以＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立，此时函数满足在x＝1处取得极值． 四、解答题 12．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a，b的值； (1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x，则g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2.即函数g(x)的极值点只可能是1或－2，当x<－2时，g′(x)<0，当－2<x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)>0，所以－2是g(x)的极值点，1不是g(x)的极值点．综上所述，g(x)的极值点为－2. 13．(2025·广东惠州模拟)已知函数f(x)＝eax＋(a≥0)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (1)当a＝0时，f(x)＝1＋，f′(x)＝－，则f′(1)＝－1，f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3. (2)设g(x)＝f′(x)x2，求函数g(x)的极大值． (2)函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝aeax－，则g(x)＝f′(x)x2＝ax2eax－1(x≠0)，则g′(x)＝2axeax＋a2x2eax＝ax(ax＋2)eax(x≠0)，当a＝0时，g(x)＝－1，此时函数g(x)无极值；当a>0时，令g′(x)>0，则x<－或x>0；令g′(x)<0，则－<x<0，所以函数g(x)在 ，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减，所以g(x)的极大值为g＝－1.综上所述，当a＝0时，函数g(x)无极大值；当a>0时，g(x)的极大值为－1. 14．已知函数f(x)＝aex－x2－b(a，b∈R)，若f(x)有两个极值点x1，x2，且≥2，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,1] B．(0，ln] C．(0,3) D．(1,8) f′(x)＝aex－x，f(x)有两个极值点，则f′(x)有两个零点，即方程aex－x＝0有两个实根，也即方程a＝xe－x有两个实根，令g(x)＝xe－x(x∈R)，则g′(x)＝(1－x)e－x，所以g′(x)>0解得x<1，g′(x)<0解得x>1，从而g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， x<0时g(x)<0；x>0时g(x)>0，g(1)＝，据此可 作出函数y＝g(x)的图象如图所示：首先当且仅当 0<a<时，直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点，其次，由图可知0<x1<1，x2>1，且当a∈时，随a的减小而增大，不妨考虑＝2的情形，此时x2＝2x1，因为g(x1)＝g(x2)＝a，所以将x2＝2x1 代入得两式相除得2e－x1＝1，故x1＝ln 2，即a＝ln 2× e－ln 2＝ln.所以当且仅当0<a≤ln时，f(x)有两个极值点x1，x2且≥2.故选B. 15．已知实数a，b，c，d成等比数列，且当x＝b时函数f(x)＝ln(x＋2)－x取得极大值c，则ad＝________. －1 由f(x)＝ln(x＋2)－x可知其定义域为(－2，＋∞)，求导得f′(x)＝－1＝，由f′(x)＝0可得x＝－1，当－2<x<－1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－2，－1)上单调递增；当x>－1时，f′(x)<0，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．故当x＝b＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝1＝c.又实数a，b，c，d成等比数列，即b2＝ac，代入解得a＝1，又由c2＝bd，解得d＝－1，故ad＝1×(－1)＝－1. 16．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝aln x＋－x. (1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程； (1)f(x)＝ln x－－x，f′(x)＝＋－1＝2，解得(3x＋2)(x－1)＝0，因为x>0，所以x＝1，故切点为(1，－3)，k＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x－1)，即y＝2x－5. (2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． (2)f′(x)＝－－1，因为x＝1为f(x)的极小值点，所以f′(1)＝a－b－1＝0，a＝b＋1，所以f′(x)＝－＝－，x>0.①当b≤0时，x－b>0，令f′(x)＝0⇒x＝1，此时当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)在x＝1取得极大值， 舍去．②当b＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(x)不存在极值，舍去．③当0<b<1时，当0<x<b时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当b<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时，f(x)在x＝1取得极大值，舍去．④当b>1时，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当1<x<b时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>b时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)在x＝1取得极小值，符合．综上，b的取值范围为(1，＋∞)． $$