核心微练22 导数中的函数构造问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

导数中的函数构造问题 微练(二十二) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　) A．(0,1) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(1，＋∞) 根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍)．所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B. 2．已知a＝ln，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c 依题意得a＝ln＝，b＝e－1＝，c＝＝.令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，x∈(0，e)，f′(x)>0，函数f(x)在(0，e)上单调递增，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(e)＝＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.故选D. 3．(2025·云南模拟)已知f′(x)是定义域为的函数f(x)的导函数，且f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，则不等式f(x)sin x>f的解集是(　　) A．(0,1) B． C． D． 设g(x)＝f(x)sin x，x∈，g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，所以函数g(x)在上单调递减，f(x)sin x>f⇔f(x)sin x>fsin，即g(x)>g，得所以0<x<，所以不等式的解集为.故选C. 4．若f(x)满足xf′(x)－f(x)>0，△ABC为锐角三角形，则下列选项正确的是(　　) A．f(sin A)sin B>f(sin B)sin A B．f(sin A)sin B<f(sin B)sin A C．f(cos A)sin B>f(sin B)cos A D．f(cos A)sin B<f(sin B)cos A 由于xf′(x)－f(x)>0，则>0.即令F(x)＝，则F′(x)＝>0.则F(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增．△ABC为锐角三角形，则A＋B>，则>B>－A>0，则1>sin B>sin ＝cos A>0.故>，变形得到f(cos A)sin B<f(sin B)cos A．故选D. 5．已知实数a，b，c∈(0,1)，e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 由ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2得＝，＝，＝＝＝，构造函数f(x)＝(x>0)，求导得f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因为1<ln 4<2<3，所以f(ln 4)<f(2)<f(3)，所以f(c)<f(a)<f(b)，又因为a，b，c∈(0,1)，f(x)在(0,1)上单调递减，所以b<a<c.故选A. 6．已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，f(2－x)＝f(x)e2－2x，则下列判断一定正确的是(　　) A．f(1)<f(0) B．f(2)>e2f(0) C．f(3)>e3f(0) D．f(4)<e4f(0) 由已知f(2－x)＝f(x)e2－2x，变形得＝，构造函数g(x)＝，则g′(x)＝.因为f(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，所以当x>1时，f′(x)－f(x)>0.所以g′(x)>0.则函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增；当x<1时，f′(x)－f(x)<0.所以g′(x)<0.此时函数g(x)在(－∞，1)上单调递减．对于A，g(0)>g(1)，即>，ef(0)>f(1)，无法判断f(0)，f(1)的大小，故A错误； 对于B，g(2)＝g(0)，即＝，即f(2)＝e2f(0)，故B错误；对于C，g(3)>g(2)＝g(0)，即>＝，所以f(3)>e3f(0)，故C正确；对于D，g(4)>g(2)＝g(0)，即>，所以f(4)>e4f(0)，故D错误．故选C. 二、多项选择题 7．定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<－tan x·f(x)恒成立，则(　　) A．f>f B．f>f C．f>f D．f>f 依题意0<x<，由f′(x)<－tanx·f(x)，得f′(x)<－·f(x)，sin x·f(x)＋cos x·f′(x)<0.构造函数F(x)＝，F′(x)＝<0，所以F(x)在上单调递减．F>F>F，>>，>>f，所以f>f，f>f.故选CD. 三、填空题 8．已知a＝，b＝，c＝sin 0.1，则a，b，c的大小顺序为________． b＜a＜c 构造函数f(x)＝sin x－x，f′(x)＝cos x－，f′(x)在上单调递减，f′(x)≥f′＝－＞0，所以f(x)在上单调递增，f(0.1)＞f(0)＝0，所以sin 0.1＞，即c＞a，b－a＝－＝0.4×.因为e≈2.718，π≈3.14，e2＞2π，所以b＜a.综上b＜a＜c. 9．(2024·厦门三模)已知奇函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(1)＝2，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是________________________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) 因为当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，所以[xf(x)]′>0，令F(x)＝xf(x)，则F′(x)>0，F(x)单调递增，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，因为f(1)＝2，所以F(1)＝f(1)＝2， 所以F(－1)＝2，大致图象如图，所以xf(x)>2 成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 10．(2025·河北模拟)若a＝，b＝tan，c＝ln，则a，b，c的大小关系为____________(用“<”号连接)． c<a<b　 令函数f(x)＝tan x－x，x∈(0,1)，求导得f′(x)＝－1＝－1>0，即函数f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)>f(0)＝0，则f>0，即b＝tan>>＝a，令函数g(x)＝ln(x＋1)－x，x∈(0,1)，求导得g′(x)＝－1<0，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)<g(0)＝0，则g<0，即c＝ln<<＝a，所以a，b，c的大小关系为c<a<b. $$