17.2.3 复杂的分解因式问题 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

17.2.3 复杂的分解因式问题 1.能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 学习目标 知识点1 多次运用公式法分解因式 1．分解因式x4－1得( ) A．(x2＋1)(x2－1)    B．(x－1)(x＋1)(x2＋1) C．(x＋1)2(x－1)2    D．(x－1)(x＋1)3 2．分解因式：(x2＋y2)2－4x2y2＝______________． B (x＋y)2·(x－y)2 3．因式分解： (1)a4－81； 解：原式＝(a2＋9)(a2－9) ＝(a2＋9)(a＋3)(a－3)；    (2)m4－18m2＋81. 解：原式＝(m2－9)2 ＝(m＋3)2(m－3)2. 知识点2 综合运用提公因式和公式法分解因式 4．把a3－4a多项式分解因式，结果正确的是( ) A．a(a－4)    B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2)    D．(a－2)2－4 5．将多项式3x2－6x＋3分解因式，下列结果正确的是( ) A．3(x2－2x)    B．3x(x－2) C．3(x2－2x＋1)    D．3(x－1)2 C D 易错点　分解因式不彻底致错 6．分解因式： (1)m3n－mn3＝__________________； (2)ax2－4axy＋4ay2＝____________． mn(m＋n)(m－n) a(x－2y)2 (3)a4b－6a3b＋9a2b； 解：原式＝a2b(a2－6a＋9) ＝a2b(a－3)2；   (4)(a－b)b2＋4(b－a). 解：原式＝(a－b)(b2－4) ＝(a－b)(b＋2)(b－2). 知识点3 先破后立型分解因式 8．分解因式：x(x－2)＋1＝__________． (x－1)2 9．(教材新增习题变式)分解因式： (1)(2a－1)2＋8a； 解：原式＝4a2－4a＋1＋8a ＝4a2＋4a＋1 ＝(2a＋1)2；   (2)(p＋8)(p－2)－6p. 解：原式＝p2＋6p－16－6p ＝p2－16 ＝(p＋4)(p－4). 10．已知n为正整数，某学习小组在用代入法求代数式n3－n的值时，出现四个答案，请问以下各个答案可能正确的是( ) A．1 713    B．1 714    C．1 715    D．1 716 11．计算：101×1022－101×982＝_________． 12．定义：对于任意实数x，都有f(x)＝ax2＋bx，若f(1)＝5，f(2)＝12，则将f(x2－4x)因式分解的结果为__________________． D 80 800 x(x－4)(x－2)2 13．分解因式： (1)9a2(x－y)＋4b2(y－x)； 解：原式＝(x－y)(9a2－4b2) ＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)；   (2)(x2－1)2－6(x2－1)＋9； 解：原式＝(x2－1－3)2 ＝(x2－4)2 ＝(x＋2)2(x－2)2； (3)a4－2a2＋1； 解：原式＝(a2－1)2 ＝(a－1)2(a＋1)2.   [核心素养：运算能力　应用意识] 15．新考向　阅读理解阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式变形为a(x＋m)2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方法．运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题．下面给出例子： [例]分解因式：x2＋2x－3. 原式＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1). 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：m2－8m＋12＝______________； (2)请运用上述配方法分解因式：x2－4xy－5y2； (3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2＝8a＋6b－25，求△ABC周长的最大值． (m－2)(m－6) 解：(2)原式＝x2－4xy＋4y2－9y2＝(x－2y)2－9y2＝(x－2y＋3y)(x－2y－3y)＝(x＋y)(x－5y)； (3)∵a2＋b2＝8a＋6b－25， ∴a2－8a＋b2－6b＋25＝0. ∴a2－8a＋16＋b2－6b＋9＝0. ∴(a－4)2＋(b－3)2＝0. ∴a－4＝0，b－3＝0. ∴a＝4，b＝3. ∴4－3<c<4＋3. ∴1<c<7. 又∵c为正整数， ∴当c＝6时，△ABC的周长最大，最大值为4＋3＋6＝13. 答：△ABC周长的最大值为13. 因式分解的一般步骤： (1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了. 一提二套三彻底 归 纳 归纳总结 1.分解因式： (1)－2x3y＋4x2y－2xy；(2)12a2-3b2 (3)x2y-4y (4)-a4+16 解：(1)－2x3y＋4x2y－2xy=-2xy(x-1)2. (2)12a2-3b2=3(2a+b)(2a-b). (3)x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2). (4)-a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a). 随堂检测 解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2 (2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)] =4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2 2.分解因式： (1) (x2+y2)2-4x2y2 ； (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 ； (3)16x4-72x2+81. (3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92 = (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2 =(2x+3)2(2x-3)2 3.计算： （1）（2）. 解：（1） =-37.2． （2）20252-2025×4048+20242 =20252-2×2024×2025+20242 =（2025-2024）2 =12 =1． 2.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50. 课后作业 1．若k为任意整数，则（k+3）2﹣（k﹣2）2的值总能（ ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 C 3.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC是等边三角形．理由如下： 由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0， 得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 7．分解因式： (1)a4－36a2； (2)－x3＋x2－ eq \f(1,4)x； 解：原式＝a2(a2－36) ＝a2(a＋6)(a－6)； 解：原式＝－x(x2－x＋ eq \f(1,4)) ＝－x(x－ eq \f(1,2))2； 14．(教材习题变式)已知2x－y＝ eq \f(1,3)，xy＝3，求4x3y－4x2y2＋xy3的值． 解：原式＝xy(4x2－4xy＋y2)＝xy(2x－y)2， 当2x－y＝ eq \f(1,3)，xy＝3时，原式＝3× eq \f(1,9)＝ eq \f(1,3). $$