第2章 有理数的运算（知识清单）数学浙教版2024七年级上册

第2章 有理数的运算 1.有理数的运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 ． ②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用 减去 ． ③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得 ，异号得负，并把绝对值 ． ②任何数同0相乘，都得 ． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ．即a÷b= (b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； ②正数的任何次幂都是 ； ③0的任何非零次幂都是 ． 2.有理数的混合 （1）运算顺序：①先 ，再 ，最后加减； ②同级运算，从 到 进行； ③如有括号，先做 内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． （2）“奇负偶正”口诀的应用： ①多重负号的化简，这里奇偶指的是 号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． ②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是 的个数，正负指结果中 积 的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． ③有理数乘方，这里奇偶指的是 ，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 ；指数为偶数，则幂为 ，例如： ， ． 3．运算律： （1）交换律:①加法交换律: ； ②乘法交换律: ； （2）结合律:①加法结合律： ； ②乘法结合律： （3）分配律： 4.科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 5.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 6.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 一、有理数的加法 1.异号两数相加，忘记判断和的正负 错误：异号的两数相加时，首先要记得判断和的正负号，尤其是当负数的绝对值更大时漏掉，直接影响结果。 注意：异号两数相加，应该遵循加法法则，先判断和的正负号，取绝对值大的加数的符号，再将两数的绝对值相减（大的数减去小的数）。 例1 （2025·天津南开·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2.灵活使用加法结合律简便运算 错误：进行多个加数的加法运算时，尤其是分数的加法时，有可以使用加法结合律进行简便运算的情况下，没有使用简便方法，导致的计算错误。 注意：在多个加数的加法运算中，首先要观察式子，看是否存在：①两数互为相反数；②两数（或三个数）的和为整数（或带分数的分数部分的和为整数）；③大数相加时，两数（或三个数）的和为整百整千数.若存在，可通过加法结合律将以上有关系的数结合起来先算，再整体计算。 例2 （24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 例3 （24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 二、有理数的减法 1.减去一个数，等于加上这个数的相反数 错误：减去一个负数时，去掉负号外的括号的同时，执行“加上这个数的相反数”的规则时，“加上”没有减号变加号，或者“这个数的相反数”没有变。如：4－（﹣2）=4－1=3； 注意：要遵循有理数的减法的法则，在由减去变成加上的同时，减数要变成它对应的相反数。 例4 （24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.有理数的加减相关的应用题 错误：多个数相加减的结果的实际意义不明，如将汽车向东（为正）或向西行驶的行程数相加的和，表示汽车距离出发点的位置和距离，而非总行程。 注意：根据问题所求，结合实际应用的具体情况进行作答。 例5 （24-25八年级下·四川广安·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 三、有理数的乘法 1.混淆倒数与相反数的概念 错误：求倒数或者相反数时概念混淆，相互混淆。 注意：倒数是两个数的乘积为1，两个数互为倒数；相反数（0除外）是两个数的和为0，两个数互为倒数。 例6 （24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 2.多个因数相乘，判断乘积的正负有误 错误：因未遵循乘法法则，或因数错负因数的数量，或其他原因导致算式的乘积的正负判断有误。 注意：当多个非零因数相乘时，确认负因数的个数，个数为奇数时，其乘积的结果为负数；个数为偶数时，其乘积的结果为负数。 例7 下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 3.灵活使用乘法律进行简便运算 错误：再进行多个因数相乘的运算时，尤其是分数的乘法运算，在有可以使用乘法结合律进行计算的没有使用，导致计算错误；或是在有乘法和加减法混合运算中，可以使用乘法分配律进行计算的没有使用，导致计算错误。 注意：能分辨什么时候使用乘法结合律和乘法分配律。根据适当的乘法率进行简便运算。 例8 （2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 4.新定义运算问题的理解与运用 错误：不理解新定义中规定的运算算法法则。 注意：先根据举的示例理解运算法则，尤其是列式时的顺序和括号，然后再计算所列的式子。 例9 （24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 四、有理数的除法 1.除法没有分配律 错误：在计算类似：（﹣）÷（）时，参考乘法分配律将其化简为（﹣）÷（﹣）÷ ，没有这样的运算律，因此是错误的。 注意：除法没有分配律，类似（﹣）÷（）的计算，只能先算括号中的减法再计算除法。或者可以先计算（）÷（﹣）的结果（这样就可以使用乘法分配律了），再求这个运算结果的倒数即可。 例10 ． 2.乘除法混合运算 错误：在运算过程中没有先将除法变成乘法，或在计算时漏掉负号。 注意：计算乘除法的混合运算时，有括号的要先算括号，然后将除以一个数变成乘以这个数的倒数，并判断乘除法最终的结果的符号，再计算数的部分。 例11 （23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 五、有理数的乘方 1.确认有理数的乘方结果的正负符号 错误：在计算负数的奇数次方的结果时，漏掉负号。 注意：当底数为负数时，指数为奇数时其结果为负数，指数为偶数时其结果为正数。 例12 （24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在以下各数中，负数的个数是（    ） 、、、、 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.区别﹣2n和（﹣2）n 错误：在计算类似于﹣2n时，理解为一个负数的n次方，尤其当n为偶数时，就容易出错。比如计算﹣34=81是错误的。 注意：﹣2n表示2的n次方的相反数，（﹣2）n表示﹣2的n次方，在计算时的顺序是不同的，计算﹣2n时先算乘方再注意负号；计算（﹣2）n时先确认负号再计算乘方。因此﹣34=﹣81，（﹣3）4=81。 例13 （23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 六、科学记数法 1.科学记数法的规范表示 错误：没有按照科学记数法的规则进行表示，尤其是 的形式中要满足。比如0.25×105，25×103都不满足a的取值范围。 注意：严格遵循科学记数法的规范表示方式。即： （其中，是正整数）。 2.科学记数法指数值的确认 错误：将大数表示成科学记数法的形式时，要确定底数为10的乘方的指数部分的值时，指数值错误。尤其，比如168000=1.68×106就多算了一位。 注意：168000=1.68×105，次数为5是由1后面的位数确定的，1后面有五位就是5次方。也可以认为是小数点位置从个位0的右侧向左移动到1的右侧，经过5个位次，所以是5次方。 例14 （24-25七年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 3.科学记数法相关的运算 错误：①两个科学记数法表示的大数相加减时，幂的部分未统一即将前面部分相加导致计算错误，如：3.2×106+5.2×105在计算时得到结果为8.4×105或8.4×106； ②两个科学记数法表示的大数相乘除时，幂的部分相乘时，指数部分用相乘导致计算错误，如：（3.2×106）+（5×105）=（3.2×5）×（106×105）=16×1030=1.6×1031； ③两个科学记数法表示的大数进行加减法或乘除法运算后，其结果没有表示为科学记数法的结果，如3.2×106+5.2×105=32×105+5.2×105=37.2×105. 注意：①两个科学记数法表示的大数相加减的基本步骤：保证幂的部分统一（以10为底数的幂的指数统一）→根据乘法分配律将其余部分相加减，幂的部分不变→将结果化作新的科学记数法的表示 ②两个科学记数法表示的大数相乘除的基本步骤：将幂的部分相乘，也将幂以外的部分也相乘→幂的部分相乘除时，底数不变，指数相加减→将两部分结果再相乘得到结果→将结果化作新的科学记数法的表示 例15 计算，结果用科学记数法表示为 七、有理数的混合运算 1.有理数混合运算的运算法则 错误：常见的错误有：没有先算括号中的运算，以及以为可以方便运算的则提前运算。 注意：有理数的混合运算法则：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例16 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 2.混合运算的运算游戏 常见的运算游戏如：算“24”点，运算程序流程图，数学规律题等 错误：在算“24”点中给到的数字重复使用，在运算程序流程图中没有按照箭头指示的步骤计算，在数字规律中找不到运算规律。 例17 （24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例18 （2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 八、近似数 1.近似数的实际应用 错误：只依靠四舍五入解决问题，没有按照实际情况解决问题。如21吨的垃圾，一辆卡车每次只能运4吨，那么需要运几次。21÷4=5.25≈5次，是错误的，不符合解决实际问题的要求。 注意：要充分按照实际要求进行近似数的估算，比如上题中，21÷4=5.25≈6次，不能依靠四舍五入解决问题。有的要全入一个，有的要全舍一个，有的还要根据实际情况考虑入与舍。 例19 （23-24七年级上·全国·课后作业）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题： (1)________（为圆周率）； (2)若，则的取值范围是________． 1.（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 2..（2025·广东清远·三模）截至2025年6月8日17时，全国冬小麦收割1.49亿亩，进度过四成，将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25六年级上·上海·期末）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6.（24-25七年级上·河南濮阳·期中）定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 7.（24-25六年级上·山东济宁·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 8.（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 9.（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 10.（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 11.（24-25七年级下·四川巴中·期末）聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约 （用科学记数法表示）． 12.（24-25七年级上·广东东莞·期中）在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 13.（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为 ． 14.（24-25七年级上·云南·期中）定义是有理数范围内的一种运算，则的值为 ． 15.（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 16.（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17.（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18.（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算 1.有理数的运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 相加 ． ②绝对值不相等的异号两数相加，取 绝对值较大 的加数的符号，并用 较大的绝对值 减去 较小的绝对值 ． ③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的 相反数 ．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得 正 ，异号得负，并把绝对值 相乘 ． ②任何数同0相乘，都得 0 ． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 倒数 ．即a÷b= a· (b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是 负数 ，负数的偶次幂是 正数 ； ②正数的任何次幂都是 正数 ； ③0的任何非零次幂都是 0 ． 2.有理数的混合 （1）运算顺序：①先 乘方 ，再 乘除 ，最后加减； ②同级运算，从 左 到 右 进行； ③如有括号，先做 括号 内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． （2）“奇负偶正”口诀的应用： ①多重负号的化简，这里奇偶指的是 “－” 号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． ②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是 负因数 的个数，正负指结果中 积 的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． ③有理数乘方，这里奇偶指的是 指数 ，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 负 ；指数为偶数，则幂为 正 ，例如： ， ． 3．运算律： （1）交换律:①加法交换律: a+b=b+a ； ②乘法交换律: a×b=b×a ； （2）结合律:①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) ； ②乘法结合律： （a×b）×c=a×(b×c) （3）分配律： a×(b+c)=a×b+a×c 4.科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 5.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 6.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 一、有理数的加法 1.异号两数相加，忘记判断和的正负 错误：异号的两数相加时，首先要记得判断和的正负号，尤其是当负数的绝对值更大时漏掉，直接影响结果。 注意：异号两数相加，应该遵循加法法则，先判断和的正负号，取绝对值大的加数的符号，再将两数的绝对值相减（大的数减去小的数）。 例1 （2025·天津南开·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是关键；根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解：； 故选：A． 2.灵活使用加法结合律简便运算 错误：进行多个加数的加法运算时，尤其是分数的加法时，有可以使用加法结合律进行简便运算的情况下，没有使用简便方法，导致的计算错误。 注意：在多个加数的加法运算中，首先要观察式子，看是否存在：①两数互为相反数；②两数（或三个数）的和为整数（或带分数的分数部分的和为整数）；③大数相加时，两数（或三个数）的和为整百整千数.若存在，可通过加法结合律将以上有关系的数结合起来先算，再整体计算。 例2 （24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 例3 （24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二、有理数的减法 1.减去一个数，等于加上这个数的相反数 错误：减去一个负数时，去掉负号外的括号的同时，执行“加上这个数的相反数”的规则时，“加上”没有减号变加号，或者“这个数的相反数”没有变。如：4－（﹣2）=4－1=3； 注意：要遵循有理数的减法的法则，在由减去变成加上的同时，减数要变成它对应的相反数。 例4 （24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）利用有理数的减法法则计算即可； （3）利用有理数的减法法则计算即可； （4）利用有理数的加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2.有理数的加减相关的应用题 错误：多个数相加减的结果的实际意义不明，如将汽车向东（为正）或向西行驶的行程数相加的和，表示汽车距离出发点的位置和距离，而非总行程。 注意：根据问题所求，结合实际应用的具体情况进行作答。 例5 （24-25八年级下·四川广安·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 三、有理数的乘法 1.混淆倒数与相反数的概念 错误：求倒数或者相反数时概念混淆，相互混淆。 注意：倒数是两个数的乘积为1，两个数互为倒数；相反数（0除外）是两个数的和为0，两个数互为倒数。 例6 （24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 2.多个因数相乘，判断乘积的正负有误 错误：因未遵循乘法法则，或因数错负因数的数量，或其他原因导致算式的乘积的正负判断有误。 注意：当多个非零因数相乘时，确认负因数的个数，个数为奇数时，其乘积的结果为负数；个数为偶数时，其乘积的结果为负数。 例7 下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 结果为0，故该选项不正确，不符合题意； B． 结果是负数；故该选项不正确，不符合题意； C． 结果是正数，故该选项正确，符合题意；     D． 结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：C． 3.灵活使用乘法律进行简便运算 错误：再进行多个因数相乘的运算时，尤其是分数的乘法运算，在有可以使用乘法结合律进行计算的没有使用，导致计算错误；或是在有乘法和加减法混合运算中，可以使用乘法分配律进行计算的没有使用，导致计算错误。 注意：能分辨什么时候使用乘法结合律和乘法分配律。根据适当的乘法率进行简便运算。 例8 （2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解题的关键． （）运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （）运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4.新定义运算问题的理解与运用 错误：不理解新定义中规定的运算算法法则。 注意：先根据举的示例理解运算法则，尤其是列式时的顺序和括号，然后再计算所列的式子。 例9 （24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 四、有理数的除法 1.除法没有分配律 错误：在计算类似：（﹣）÷（）时，参考乘法分配律将其化简为（﹣）÷（﹣）÷ ，没有这样的运算律，因此是错误的。 注意：除法没有分配律，类似（﹣）÷（）的计算，只能先算括号中的减法再计算除法。或者可以先计算（）÷（﹣）的结果（这样就可以使用乘法分配律了），再求这个运算结果的倒数即可。 例10 ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的乘除，解题的关键是掌握有理数的乘除，先对小括号通分，然后根据有理数的除法，进行计算，即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2.乘除法混合运算 错误：在运算过程中没有先将除法变成乘法，或在计算时漏掉负号。 注意：计算乘除法的混合运算时，有括号的要先算括号，然后将除以一个数变成乘以这个数的倒数，并判断乘除法最终的结果的符号，再计算数的部分。 例11 （23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 五、有理数的乘方 1.确认有理数的乘方结果的正负符号 错误：在计算负数的奇数次方的结果时，漏掉负号。 注意：当底数为负数时，指数为奇数时其结果为负数，指数为偶数时其结果为正数。 例12 （24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在以下各数中，负数的个数是（    ） 、、、、 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，先化简各数，然后根据小于0的数是负数解答即可． 【详解】解：，是正数； ，是负数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； 是负数； ∴负数有个， 故选：B． 2.区别﹣2n和（﹣2）n 错误：在计算类似于﹣2n时，理解为一个负数的n次方，尤其当n为偶数时，就容易出错。比如计算﹣34=81是错误的。 注意：﹣2n表示2的n次方的相反数，（﹣2）n表示﹣2的n次方，在计算时的顺序是不同的，计算﹣2n时先算乘方再注意负号；计算（﹣2）n时先确认负号再计算乘方。因此﹣34=﹣81，（﹣3）4=81。 例13 （23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，分别计算各选项中两个表达式的值，判断是否相等． 【详解】∵，，∴，故A错误． ∵，∴，故B正确． ∵，，∴，故C错误． ∵，，∴，故D错误． 故选B． 六、科学记数法 1.科学记数法的规范表示 错误：没有按照科学记数法的规则进行表示，尤其是 的形式中要满足。比如0.25×105，25×103都不满足a的取值范围。 注意：严格遵循科学记数法的规范表示方式。即： （其中，是正整数）。 2.科学记数法指数值的确认 错误：将大数表示成科学记数法的形式时，要确定底数为10的乘方的指数部分的值时，指数值错误。尤其，比如168000=1.68×106就多算了一位。 注意：168000=1.68×105，次数为5是由1后面的位数确定的，1后面有五位就是5次方。也可以认为是小数点位置从个位0的右侧向左移动到1的右侧，经过5个位次，所以是5次方。 例14 （24-25七年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将各个数写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：用科学记数法表示各数分别为： ①；②576万；③；④． 3.科学记数法相关的运算 错误：①两个科学记数法表示的大数相加减时，幂的部分未统一即将前面部分相加导致计算错误，如：3.2×106+5.2×105在计算时得到结果为8.4×105或8.4×106； ②两个科学记数法表示的大数相乘除时，幂的部分相乘时，指数部分用相乘导致计算错误，如：（3.2×106）+（5×105）=（3.2×5）×（106×105）=16×1030=1.6×1031； ③两个科学记数法表示的大数进行加减法或乘除法运算后，其结果没有表示为科学记数法的结果，如3.2×106+5.2×105=32×105+5.2×105=37.2×105. 注意：①两个科学记数法表示的大数相加减的基本步骤：保证幂的部分统一（以10为底数的幂的指数统一）→根据乘法分配律将其余部分相加减，幂的部分不变→将结果化作新的科学记数法的表示 ②两个科学记数法表示的大数相乘除的基本步骤：将幂的部分相乘，也将幂以外的部分也相乘→幂的部分相乘除时，底数不变，指数相加减→将两部分结果再相乘得到结果→将结果化作新的科学记数法的表示 例15 计算，结果用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解： ， 故答案为： 七、有理数的混合运算 1.有理数混合运算的运算法则 错误：常见的错误有：没有先算括号中的运算，以及以为可以方便运算的则提前运算。 注意：有理数的混合运算法则：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例16 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14， 则 ， 即符合条件的数为． 2.混合运算的运算游戏 常见的运算游戏如：算“24”点，运算程序流程图，数学规律题等 错误：在算“24”点中给到的数字重复使用，在运算程序流程图中没有按照箭头指示的步骤计算，在数字规律中找不到运算规律。 例17 （24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 例18 （2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 八、近似数 1.近似数的实际应用 错误：只依靠四舍五入解决问题，没有按照实际情况解决问题。如21吨的垃圾，一辆卡车每次只能运4吨，那么需要运几次。21÷4=5.25≈5次，是错误的，不符合解决实际问题的要求。 注意：要充分按照实际要求进行近似数的估算，比如上题中，21÷4=5.25≈6次，不能依靠四舍五入解决问题。有的要全入一个，有的要全舍一个，有的还要根据实际情况考虑入与舍。 例19 （23-24七年级上·全国·课后作业）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题： (1)________（为圆周率）； (2)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由题意可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：3； （2）解：若，①当，但的小数部分大于或等于0.5时，即； ②当，但的小数部分小于0.5时，即， ③当时，满足， ∴的取值范围是． 故答案为：． 1.（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，根据题意，日温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则进行计算即可； 【详解】解：； 因此，这天的日温差是6℃， 故选：B 2..（2025·广东清远·三模）截至2025年6月8日17时，全国冬小麦收割1.49亿亩，进度过四成，将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将149000000用科学记数法表示应为． 故选：B． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选：D． 4.（24-25六年级上·上海·期末）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算括号，再根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：D ． 5.（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 6.（24-25七年级上·河南濮阳·期中）定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，根据新运算的定义，先计算a的绝对值，再减去a与b的乘积．将，代入运算即可． 【详解】解：由定义， 代入，，得： ． 故选：B． 7.（24-25六年级上·山东济宁·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、 ， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 8.（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第 天温差较大． 9.（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，有理数的加法运算，由数轴可知，，且，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴， 故答案为：． 10.（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值． 根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得． 【详解】解： 与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 11.（24-25七年级下·四川巴中·期末）聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，据此他计算出地球距离太阳大约 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查有理数乘法应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据距离=速度乘以时间计算，再用科学计算法表示计算结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12.（24-25七年级上·广东东莞·期中）在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 【答案】30 【分析】此题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题关键在于掌握运算法则． 根据正数大于一切负数，同号得正，异号得负，找出乘积是正数绝对值最大的三个数相乘即可． 【详解】解：由题意可知，要使三个数的积最大，则应取绝对值较大的两个负数，一个正数， 所以最大乘积是． 故答案为：30． 13.（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为3或5． 故答案为：3或5． 14.（24-25七年级上·云南·期中）定义是有理数范围内的一种运算，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，首先理解的运算法则，利用运算法则去求最后的结果即可，解题关键是正确理解定义的新运算，然后根据运算法则即可解决问题． 【详解】， 故答案为：． 15.（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 16.（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0.8； (4)． 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加运算法则即可求解，取负号，绝对值47减35； （2）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值3.75化为，减； （3）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值化为3.5，3.5减2.7； （4）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值减． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17.（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18.（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$