17.2.1 形如平方差的多项式分解因式 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

17.2.1 形如平方差的多项式分解因式 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想． 2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解． 学习目标 知识点1 利用平方差公式分解因式 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A．x2－xy    B．x2＋xy C．x2＋y2    D．x2－y2 2．把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是( ) A．(4a＋1)(4a－1)    B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2    D．(2a＋1)2 D B 3．分解因式： (1)(海南中考)x2－4＝_______________； (2)(绍兴中考)1－x2＝____________； (3)(绵阳中考)x2－9y2＝_______________． (x＋2)(x－2) (1＋x)(1－x) (x＋3y)(x－3y) 4．分解因式： (1)4x2－y2； 解：原式＝(2x＋y)(2x－y)；   (2)x2y2－36； 解：原式＝(xy＋6)(xy－6)； (5)－9x2＋y2； 解：原式＝(y＋3x)(y－3x)；   (6)a2－16b4； 解：原式＝(a＋4b2)(a－4b2)；   (7)(x－1)2－9； 解：原式＝[(x－1)＋3][(x－1)－3] ＝(x＋2)(x－4)； (8)(3x－2)2－(2x＋7)2. 解：原式＝(3x－2＋2x＋7)(3x－2－2x－7) ＝5(x＋1)(x－9). 知识点2 平方差公式分解因式的应用 5．(教材“思考”变式)已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为( ) A．2    B．3    C．6    D．8 6．将边长分别为a＋b和a－b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是( ) A.a－b B．a＋b C．2ab D．4ab D D 7．(教材新增习题变式)利用因式分解进行简便计算： (1)2 0252－2 0242； 解：原式＝(2 025＋2 024)×(2 025－2 024) ＝4 049； 8．小清在练习因式分解时，发现多项式□x2＋y2被污染了，翻看答案因式分解的结果是－(6x－y)(6x＋y)，则□中的数字是( ) A．6    B．－6    C．36    D．－36 9．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是( ) A．正数    B．负数 C．等于零    D．不能确定 10．若a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值为____． D B 4 11．分解因式： (1)(2a＋1)2－a2； 解：原式＝(2a＋1＋a)(2a＋1－a) ＝(3a＋1)(a＋1)；   (2)(a－b)2－4b2； 解：原式＝(a－b＋2b)(a－b－2b) ＝(a＋b)(a－3b)； (3)81a2－4(a＋b)2； 解：原式＝(9a＋2a＋2b)(9a－2a－2b) ＝(11a＋2b)(7a－2b)；   (4)16(a＋b)2－9(a－b)2. 解：原式＝(4a＋4b＋3a－3b)(4a＋4b－3a＋3b) ＝(7a＋b)(a＋7b). 12．已知4m＋n＝40，2m－3n＝5.求(m＋2n)2－(3m－n)2的值． 解：(m＋2n)2－(3m－n)2 ＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n) ＝(4m＋n)(3n－2m) ＝－(4m＋n)(2m－3n). ∵4m＋n＝40，2m－3n＝5， ∴原式＝－40×5＝－200.  [核心素养：运算能力　推理能力] 13．(教材习题变式)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”． (1)36__是__“神秘数”；(填“是”或“不是”) (2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，…， 按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为20， 求阴影部分的面积． 解：(2)∵(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数； (3)(42－22)＋(82－62)＋(122－102)＋…＋(202－182) ＝(4＋2)(4－2)＋(8＋6)(8－6)＋(12＋10)·(12－10)＋…＋(20＋18)(20－18) ＝2×6＋2×14＋2×22＋…＋2×38 ＝2×(6＋14＋22＋…＋38) ＝2×(6＋38)×5÷2 ＝220. 答：阴影部分的面积是220. 1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　) A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2 C.(x+4)(x-4) D.x(x-4) 2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 3.下列因式分解中,结果正确的是(　　) A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2 A B A 随堂检测 4.分解因式： (1)a2- b2 (2)9a2-4b2 （3）25（x+y）2-4(x-y)2 . 解：(1)a2- b2 =(a+b)(a-b) (2)9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b) (3)25（x+y）2-4(x-y)2 = =(7x+3y)(3x+7y) 随堂检测 5.计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52-46.52. 解：(1)原式=(101＋99)(101－99)=400； (2)原式=(53.52－46.52) =(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) =100×7 =700. 随堂检测 1.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2 -(3m-n)2的值． 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 原式=-40×5=-200． 能力提升 用平方差公式分解因式： 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）一个二项式. （2）每项都可以化成整式的平方. （3）整体来看是两个整式的平方差. 把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 课堂小结 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ (1)x2+y2 ( )____________________； (2)x2-y2 ( )____________________； (3)-x2+y2 ( )____________________； (4)-x2-y2 ( )____________________. 不能 能 能 不能 这是平方和 x2-y2=(x+y)(x-y) -x2+y2=(y+x)(y-x) 这是平方和的相反数 课后作业 2．因式分解． (1)； (2)； (3) ； (4)． 解：（1）=； （2） =2a×2b=4ab； （3） ； （4） . 课后作业 3.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n. ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． (3) eq \f(1,16)－9a2； (4) eq \f(4,9)m2－ eq \f(1,25)n2； 解：原式＝( eq \f(1,4)＋3a)( eq \f(1,4)－3a)； 解：原式＝( eq \f(2,3)m＋ eq \f(1,5)n)( eq \f(2,3)m－ eq \f(1,5)n)； (2)(7 eq \f(1,2))2－( eq \f(1,2))2. 解：原式＝(7 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2))×(7 eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)) ＝8×7 ＝56. $$