17.1　用提公因式法分解因式 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

17．1　用提公因式法分解因式 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 学习目标 D －2 －3 知识点1 因式分解的概念 1．(河南省实验中学入学卷)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2－x＝x(x－1) 2．把多项式x2＋ax＋b分解因式得(x＋1)(x－3)，则a＝_______，b＝_______． 知识点2 公因式是一次项的因式分解 3．用提公因式法分解因式m2－2m时，应提取的公因式是( ) A．m2    B．2m    C．m    D．2m2 4．下列因式分解错误的是( ) A．4x＋8＝4(x＋2) B．x2＋4xy＝x(x＋4y) C．ax＋ay＋a＝a(x＋y) C．xy＋x2＋xz＝x(y＋x＋z) C C 5．因式分解： (1)(福建中考)x2＋x＝_________； (2)(遂宁中考)ab＋4a＝___________； (3)(盐城中考)x2－xy＝_________． 6．多项式3x3－2x2－x提出公因式x后，另一个因式为______________． x(x＋1) a(b＋4) x(x－y) 3x2－2x－1 7．分解因式： (1)－2y＋3xy;    解：原式＝y(3x－2);    (2)a2＋ab＋2a.  解：原式＝a(a＋b＋2).  知识点3 公因式是多次项或多项式的因式分解 8．把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是( ) A．ab    B．2ab    C．2ab2    D．4ab2 B 易错点　公因式互为相反数，提取后未变号而出错 9．分解因式：2(x－3)＋4x(3－x)＝___________________． 2(x－3)·(1－2x) 　 10．分解因式： (1)－8a3b2＋6ab3c； 解：原式＝－2ab2(4a2－3bc)；   (2)x(x2＋y2)－y(x2＋y2)； 解：原式＝(x2＋y2)(x－y)；   (3)2(x－y)3－6(y－x)2. 解：原式＝2(x－y)3－2(x－y)2·3 ＝2(x－y)2(x－y－3). 12．如图是甲、乙两位同学因式分解－x2＋x的结果，下列判断正确的是( ) A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 A 13．(南阳月考)如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为( ) A.80 B．96 C．192 D．240 14．(济宁中考)已知实数m满足m2－m－1＝0，则2m3－3m2－m＋9＝____． B 8 15．将下列各式分解因式： (1)15x3y2＋5x2y－20x2y3； 解：原式＝5x2y(3xy＋1－4y2)；     (2)(m2－mn)－c(m－n)； 解：原式＝m(m－n)－c(m－n) ＝(m－n)(m－c)； (3)(a－2)2－2a＋4； 解：原式＝(a－2)2－2(a－2) ＝(a－2)(a－4)；     (4)2a(a－b)＋8a2(b－a). 解：原式＝2a(a－b)(1－4a). 16．(教材新增习题变式)利用因式分解计算： (1)2 028×2 026－2 0262； 解：原式＝2 026×(2 028－2 026) ＝2 026×2 ＝4 052；   (2)65×20.29＋56×20.29－20.29×21. 解：原式＝20.29×(65＋56－21) ＝2 029. [核心素养：运算能力　推理能力] 17．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (1)上述分解因式的方法是______________，共用了________次； (2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 027，则结果是________； (3)依照上述方法分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n.(n为正整数) 解：(1)提公因式法，2； (2)(1＋x)2 028； (3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋…＋x(x＋1)n-1] ＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋…＋x(x＋1)n-2] … ＝(1＋x)n+1. 提公因式法的一般步骤： (1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 归纳总结 1.下列各多项式中的公因式是什么？ (1)ac+bc (2)3x2+9xy (3)a2b–2ab2 + ab (4)4xy2-6xy+8x3y c 3x ab 2xy 随堂检测 2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） （A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C 3.分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4） 4.下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） （A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） （B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y） （C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c） （D）x2y+5xy-y=y（x2+5x） D C C 随堂检测 5．因式分解： (1) ; (2); (3) (4) 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 随堂检测 1.已知求代数式的值. 解： = =， ∵， ∴原式. 能力提升 2．阅读理解，并解答下面的问题： 拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）． 例：分解因式：＋4x＋3 解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x， ＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组 ＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式 ＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式 请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6 解：原式=＋2x＋3x＋6 ． 能力提升 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法分解因式： pa+pb+pc=p(a+b+c) 提公因式法的一般步骤： (1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 课堂小结 1.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（   ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 2．计算的结果为（   ） A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000 3．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则的值为（  ） A．480 B．240 C．120 D．100 A C B 课后作业 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 4.已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值． 课后作业 11．(教材习题变式)先分解因式，再求值：(a＋b)·(a－b)－(b－a)2，其中a＝1，b＝－ eq \f(1,2). 解：原式＝(a＋b)(a－b)－(a－b)2 ＝(a－b)(a＋b－a＋b) ＝2b(a－b). 当a＝1，b＝－ eq \f(1,2)时，原式＝2×(－ eq \f(1,2))(1＋ eq \f(1,2))＝－ eq \f(3,2). $$