精品解析：陕西省咸阳市永寿县常宁镇中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

2024~2025学年度第二学期课后综合作业（一） 七年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算（ ） A. 0 B. 1 C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则：是解题的关键．根据零指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角．熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别到是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐一判断即得． 【详解】A. ，与不是对顶角； B. ，与是对顶角； C. ，与不是对顶角； D. ，与不是对顶角． 故选：B． 3. 唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．利用积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据每个选项中的等式左右两边的形式进行判断求解即可． 【详解】解：A． ，原式错误，不符合题意； B． ，原式错误，不符合题意； C． ，原式错误，不符合题意； D． ，原式正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，，，垂足为点D，连接，则下面的结论中正确的是（ ） A. B. 与互余 C. 点A到的垂线段是 D. 与互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，余角与补角的定义，垂线段的定义等等，根据题意可得，据此可判断C；根据相交，可判断A；度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断B、D． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到的垂线段是，故C结论正确； 又∵相交， ∴与不垂直，故A结论错误； ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故D结论错误； 根据现有条件无法得到与的数量关系，故B结论错误； 故选：C． 7. 如图，观察图①与图②，利用阴影部分面积的不同表示方式可以验证一个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，图①的阴影部分面积等于平行四边形的面积，图②阴影部分面积等于大正方形面积减去空白正方形面积，据此分别列出两幅图的阴影部分面积的代数式即可得到答案． 【详解】解：图①的阴影部分面积为， 图②的阴影部分面积为， ∵图①和图②的阴影部分面积相等， ∴， 故选：A． 8. 将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形求解即可． 【详解】解：第①幅图中“·”的个数为， 第②幅图中“·”的个数为， 第③幅图中“·”的个数为， ……， 以此类推，第幅图中“·”的个数为， 故选：B 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，则a的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】解题思路为利用完全平方公式将展开，然后与等式右边的式子对比，求出的值．本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【详解】解： 又 对比可得． 故答案为． 10. 与互余，与互补，，那么_________． 【答案】##153度 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 11. 正方形的一组对边增加6厘米，另一组对边减少4厘米，结果得到的长方形与原正方形面积相等，原正方形的面积是_______平方厘米． 【答案】144 【解析】 【分析】设原正方形的边长为x厘米，如图，由于正方形与长方形面积相等，而长方形是正方形和长方形的公共部分，所以长方形的面积等于长方形的面积，列方程解答即可，本题考查了方程的应用，要求原正方形的面积，应知道原来的边长．依据条件“得到的长方形与原正方形面积相等”，将数据代入公式即可求得结果．此题主要考查长方形的面积公式及图形面积的大小关系，将数据代入公式即可求得结果． 【详解】解：如图所示， 设原正方形的边长为x厘米，如图，由于正方形与长方形面积相等，而长方形是正方形和长方形的公共部分， 故长方形的面积等于长方形的面积， 根据题意，得， ， 解得 ∴原正方形的面积是：（平方厘米）． 故答案为：144． 12. 如图，点O是直线上一点，，射线平分，．则的度数为________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平角的定义，角的和差等，根据，求出，根据角平分线定义求出，根据垂线定义得出，最后求出答案即可． 【详解】解：， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图是一个由两个相同的大正方形（甲），一个小正方形（乙）和两个相同的直角三角形（丙）无缝拼接而成的六边形，已知这个六边形的面积为，则图中阴影部分面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】设大正方形（甲）的边长为x，一个小正方形（乙）的边长为y，根据这个六边形的面积为72，列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形（甲）的边长为x，一个小正方形（乙）的边长为y， ∵这个六边形的面积为72， ∴2x2+y2+2×（x+y）（x-y）=72， ∴3x2=72， ∴x2=24， ∴两个相同的大正方形（甲）的面积=24×2=48， ∴图中阴影部分面积为72-48=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据绝对值意义，乘方运算法则，负整数指数幂 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的除法法则是解题的关键．根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，完全平方公式．先用平方差公式进行化简，再用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ． 17. 如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短． 【解析】 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 18. 如图，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差，根据垂直可得，根据角的和差可得，进而得到的度数，掌握垂直的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数． 19. 一块900平方毫米的芯片上能集成10亿个电子元件，平均每个这样的电子元件占多少平方毫米？ 【答案】平均每个这样的电子元件占平方毫米 【解析】 【分析】根据“平均每个电子元件占地面积 =芯片总面积电子元件总个数”，将数值代入进行除法运算，并转化为科学记数法形式． 本题主要考查科学记数法的运算及除法的实际应用，熟练掌握科学记数法的表示方法和除法运算规则是解题的关键． 【详解】解：（平方毫米）． 答：平均每个这样的电子元件占平方毫米． 20. 如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； 【答案】 【解析】 【分析】利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积．本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 ． 22. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】（1）， ； （2）216． 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当，时， ； 23. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方逆运算，熟练掌握“同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘”是解题关键． （1）利用同底数幂的除法法则将转化为计算； （2）先利用同底数幂的乘法法则合并指数，再通过幂的乘方逆运算转化为含、的形式计算． 【小问1详解】 解：因为，， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以 ． 24. 如图，直线，相交于点O，和互余，． （1）和垂直吗？为什么？ （2）若，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵和互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，角的计算，垂直的定义及一元一次方程的应用，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系． （1）根据余角的定义可得，再根据平角的定义可求出，即可得出结论； （2）设，则，结合可求解x值，进而可求解的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 25. 某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； （2）若，，请求出绿化地带的面积． 【答案】（1）平方米 （2）275平方米 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据图形的面积之差列式即可求解； （2）将字母的值代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：． ∴绿化地带的面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时，（平方米）． 26. 【阅读理解】 数学活动课上，老师提出了一个问题： 若x满足，求的值． 小李给出了一个方法： 解：设，，则， ， ． 【问题提出】 老师还提出以下问题，请根据上述思想方法进行解答： （1）①若x满足，求的值； ②若x满足，求的值； 【问题解决】 （2）如图，某小区为美化环境，在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃，花圃的面积为15平方米，其中墙足够长．随着绿化面积的增加，社区在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），求新扩建花圃的总面积． 【答案】（1）①；②；（2）平方米 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）①设，，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可；②设，，则，．利用进行解答即可； ②设，，利用完全平方公式变形求解即可； （2）设米，则米，利用虚线部分的面积等于5个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：（1）①设，，则， ， 所以 ． ②设，，则， ． 所以 ． （2）设米，则米， 根据题意，得，米， 新扩建花圃的总面积为， 设，， 则，． 所以新扩建花圃的总面积为 （平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期课后综合作业（一） 七年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算（ ） A. 0 B. 1 C. 2025 D. 2. 下列图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，垂足为点D，连接，则下面的结论中正确的是（ ） A. B. 与互余 C. 点A到的垂线段是 D. 与互补 7. 如图，观察图①与图②，利用阴影部分面积的不同表示方式可以验证一个等式是（ ） A. B. C. D. 8. 将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，则a的值为________． 10. 与互余，与互补，，那么_________． 11. 正方形的一组对边增加6厘米，另一组对边减少4厘米，结果得到的长方形与原正方形面积相等，原正方形的面积是_______平方厘米． 12. 如图，点O是直线上一点，，射线平分，．则的度数为________． 13. 如图是一个由两个相同的大正方形（甲），一个小正方形（乙）和两个相同的直角三角形（丙）无缝拼接而成的六边形，已知这个六边形的面积为，则图中阴影部分面积为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 18. 如图，，，若，求的度数． 19. 一块900平方毫米的芯片上能集成10亿个电子元件，平均每个这样的电子元件占多少平方毫米？ 20. 如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 23. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 24. 如图，直线，相交于点O，和互余，． （1）和垂直吗？为什么？ （2）若，求的度数． 25. 某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； （2）若，，请求出绿化地带的面积． 26. 【阅读理解】 数学活动课上，老师提出了一个问题： 若x满足，求的值． 小李给出了一个方法： 解：设，，则， ， ． 【问题提出】 老师还提出以下问题，请根据上述思想方法进行解答： （1）①若x满足，求的值； ②若x满足，求的值； 【问题解决】 （2）如图，某小区为美化环境，在一面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃，花圃的面积为15平方米，其中墙足够长．随着绿化面积的增加，社区在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），求新扩建花圃的总面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $