第四章图形的相似单元测试卷 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似单元测试卷北师大版2025—2026学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 6．如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 7．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 第6题图 第8题图 第4题图 9．如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 10．如图，在菱形中，，点、分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点的对称点落在对角线上，给出下面四个结论： ①； ②若，则； ③若菱形边长为，是的中点，连接，则； ④若，，则． 上述结论中，正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 第10题图 第9题图 第11题图 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 12．如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为 ． 13．如图，，如果，，，那么 ． 14．如图，平行四边形中，，如果，则 ． 第14题图 第12题图 第13题图 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 16．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 17．在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 19．在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)猜想观察：如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______． (2)类比探究：如图2，当时， ①求的值；②求直线与直线相交所成的较小角的度数． (3)解决问题：如图3，当时，若点E、F分别是、的中点，点P在的延长线上，P、D、C三点在同一直线上，与相交于点M． ①求证：； ②若，求的长． 20．如图1，在中，，，，点D，E分别是，中点，连接．在同一平面内，将绕点A逆时针旋转（D，E始终在直线同侧），射线，相交于点P． (1)证明：在旋转过程中，； (2)如图2，考虑旋转角度数大于时，的度数是否不变？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； (3)如图3，当时，连接，设交于点Q． ①证明：； ②求线段的长度． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D D A B A D C 二、填空题 11．【解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 12．【解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接， ∵点G为的重心， ∴点E为的中点， ∵为边上的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 13．【解】解：∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为： 14．【解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．【解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过E点作交于M点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴1， 即， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即①， ∵， ∴， 即②， 得1， 解得． 16．【解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 17．【解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； （2）解： 将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）知， ， ， ， ． 18．【解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 19．【解】（1）解：（1）如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O． 由题意，当时，、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ，线与直线相交所成的较小角的度数是， 故答案为1，． （2）解：如图2中，设交于点O，交于点E． 由题意，当时，、是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数为． （3）①证明：∵点 E，F 分别是、 的中点， ∴，， ∴． ∵P，D，C三点在同一直线上，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴． ②解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴．由（2）知， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴．解得，(不合题意，舍去)， ∴． 20．【解】（1）证明：如图1中，∵点D，E分别是，中点， ∴， ∴， 如图2中，由旋转变换的性质可知， ∴； （2）解：结论：，度数不变．理由如下： 如图2中，设，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①证明：设，交于点O． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②解：如图3中，过点E作交的延长线于点H， 在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$