16.3.1　平方差公式 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

16.3.1 平方差公式 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. 学习目标 知识点1 平方差公式的几何意义 1．(教材习题变式)根据如图所示的面积关系，可以得到的恒等式是( ) A．a(a＋b)＝a2＋ab B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B 2．如图①，把一张长方形纸片沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． (1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝_____________________，S2＝____________； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 解：(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (a＋b)(a－b) a2－b2 知识点2 平方差公式 易错点　对平方差公式的特征理解不透而致错 3．下列各式能用平方差公式计算的有_______________；(填序号) ①(a＋b)(－b＋a)；　②(a＋b)(－a＋b)； ③(a－b)(－a＋b);    ④(a＋b)(－a－b)； ⑤(－a＋b)(－a－b);    ⑥(a－b)(－a－b). 4．运用乘法公式计算3(a＋1)(a－1)的结果是_______________． ①②⑤⑥ 3a2－3 5．运用平方差公式计算： (1)(3a＋b)(3a－b)； 解：原式＝9a2－b2；  (2)(－x＋2y)(－x－2y)； 解：原式＝x2－4y2； (3)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2). 解：原式＝3x2－5x－10. 知识点3 运用平方差公式进行简便计算 6．用简便方法计算，将99×101变形正确的是( ) A．99×101＝1002＋12 B．99×101＝(100－1)2 C．99×101＝1002－12 D．99×101＝(100＋1)2 C 7．运用平方差公式计算： (1)1 003×997； 解：原式＝(1 000＋3)(1 000－3)＝999 991； 9．若M·(3x－y2)＝y4－9x2，则多项式M为( ) A．－(3x＋y2)    B．y2－3x C．3x＋y2    D．3x－y2 A 10．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M.若a＋b＝10，a－b＝5，则A比B多出的使用面积为________． 50 (2) 已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值． 解：∵2a2＋3a－6＝0，即2a2＋3a＝6， ∴原式＝6a2＋3a－4a2＋1 ＝2a2＋3a＋1 ＝6＋1＝7. 12．对任意正整数n，求证：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． 证明：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n2－1). ∵n是正整数， ∴原式的值是10的倍数．  [核心素养：运算能力　推理能力] 13．小明遇到下面一个问题： 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1). 经过观察，小明发现如果将原式进行适当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1) ＝216－1. 1.填空 (1)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________. a2–b2 a2–b2 b2–a2 b2–a2 随堂检测 2.若，则______． 3.已知 x+y-3=0，，则_____，x－y的值为______. 4.已知，，则______. 5.在平面直角坐标系中，已知A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x＝a+b，y＝2，则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____． 2022 27 -4 6 8 随堂检测 6.运用平方差公式计算： (1)(a+3b)(a－3b); (2)(3+2a)(－3+2a); (3)51 × 49; (4)(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3). 解：(1)原式=a2－9b2； (2)原式=4a2－9； (3)原式=(50+1)(50-1)=502-12=2499； (4)原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7. 随堂检测 1.如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积． 解：由题知：,阴影部分的面积是： AE•BC+AE•BD ＝AE(BC+BD) ＝(AB﹣BE)(BC+BD) ＝(a-b)(a+b)＝(a2﹣b2)＝×10＝5． 答：阴影部分的面积是5． 能力提升 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2-b2 = (a+b)(a-b) 课堂小结 1.计算(2x+1)(2x–1)等于(　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 2.下列运算中，可用平方差公式计算的是 (　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) A C 课后作业 3.计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3). 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 课后作业 (2)14 eq \f(2,3)×15 eq \f(1,3) . 解：原式＝(15－ eq \f(1,3))(15＋ eq \f(1,3)) ＝224 eq \f(8,9). 11．(1)先化简，再求值：(2a＋b)(2a－b)＋b(2a＋b)－4a2，其中a＝－ eq \f(1,2)，b＝2； 解：原式＝4a2－b2＋2ab＋b2－4a2＝2ab. 当a＝－ eq \f(1,2)，b＝2时， 原式＝2×(－ eq \f(1,2))×2＝－2； 请根据小明解决问题的方法，试着求下列式子的值：(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1). 解：原式＝ eq \f(1,4)×(5－1)(5＋1)(52＋1)(54＋1)·(58＋1) ＝ eq \f(1,4)×(52－1)(52＋1)(54＋1)(58＋1) ＝ eq \f(1,4)×(54－1)(54＋1)(58＋1) ＝ eq \f(1,4)×(58－1)(58＋1) ＝ eq \f(516－1,4). $$