第1章 有理数 单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第1章 有理数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中．最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 3．在数，，，中，属于负分数的是（    ） A． B． C． D． 4．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 5．地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 6．【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 8．已知：，则（   ） A． B． C． D． 9．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 10．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．的相反数是 ． 12．比较大小： （用“>”“<”或“=”填空） 13．已知，且，则的值为 14．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．在数轴上表示下列各数：，（注：找出这些数所表示的点，并把数标注在点的上方），并用“”连接起来． 16．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内： 15，，，，，10，，，． (1)整数集：{ …}． (2)正有理数集：{ …}． (3)负有理数集：{ …}． (4)负分数集：{ …}． 17．计算 (1)； (2)； (3) (4)． 18．星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向． (1)用有理数表示李老师两次所行的路程； (2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？ 19．我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 20．规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 21．阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 22．认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用和来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：    解决问题 任务1 （1）将下列进制数转化为十进制数： ①_______；②_______；③_______． （2）现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2 （1）十进制数21转二进制数得_______；十进制数120转五进制数得_______． （2）如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得_______； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得______． 23．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中．最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较大小，化简，再根据正数0负数，将四个数按从大到小排列，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴最大的数是， 故选：B． 2．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握用数轴上的点表示有理数是解题的关键，确定该数的取值范围即可求解． 【详解】解：设叶片盖住的点表示的数为x，则， 则表示的数可能是． 故选：A． 3．在数，，，中，属于负分数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类．根据负分数的定义，即可判断求解． 【详解】解：在数，，，中，属于负分数的是． 故选：D． 4．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用山脚的平均气温减去山顶的平均气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴山顶平均气温与山脚平均气温的温差是， 故选：C． 5．地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 6．【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，由数轴可知，然后一一判断即可得出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了小数除法的实际应用以及小数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键．根据总价数量单价，分别求出两款修正带每米的钱数，再进行比较即可判定． 【详解】解：普通版修正带每米的钱数为： （元）， 加长版修正带每米的钱数为： （元）， ， 所以，加长版更优惠． 故选：B． 8．已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数指数幂的定义，根据题意，得到，进行计算即可．熟练掌握有理数指数幂的定义，是解题的关键： 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 9．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 【答案】C 【分析】本题考查了进位制的概念及七进制数与十进制数的转换，解题的关键是理解“满七进一”的计数规则，即每个数位的权值为7的相应幂次，通过各数位的数值乘以对应权值再求和完成转换． 明确“满七进一”为七进制计数法，从右到左各数位的权值依次为、、；对应数位数值：右起第一位6权值、第二位2权值、第三位3权值；计算总和：，得到十进制天数. 【详解】解：根据“满七进一”的计数规则，该数为七进制数，从右到左各数位的权值依次为、、 由图可知，从右到左的打结数依次为6、2、3，因此对应的十进制天数计算如下： 故选：C． 10．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 12．比较大小： （用“>”“<”或“=”填空） 【答案】< 【分析】本题考查有理数大小比较，根据“负数绝对值大的反而小”进行比较即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：<． 13．已知，且，则的值为 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，先根据绝对值，求出a，b的值，再根据，得到，或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 14．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．在数轴上表示下列各数：，（注：找出这些数所表示的点，并把数标注在点的上方），并用“”连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键在于善于利用数轴进行大小比较．根据数轴上点从左到右依次变大即可判断大小关系． 【详解】解：， 如图所示： 则大小关系为：． 16．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内： 15，，，，，10，，，． (1)整数集：{______…}． (2)正有理数集：{______…}． (3)负有理数集：{______…}． (4)负分数集：{______…}． 【答案】(1)15，，10， (2)15，，，10， (3)，，， (4)， 【分析】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法，是解题的关键： （1）根据整数包括正整数，0和负整数，作答即可； （2）根据正有理数包括正整数和正分数，作答即可； （3）根据负有理数包括负整数和负分数，作答即可； （4）根据负分数是小于0的分数，作答即可． 【详解】（1）解：整数集：｛15，，10，…｝ （2）正有理数集：{15，，，10，…} （3）负有理数集：{，，，…} （4）负分数集：{，…} 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除混合计算，有理数乘法分配律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可； （3）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向． (1)用有理数表示李老师两次所行的路程； (2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)第一次所行的路程为，第二次所行的路程为； (2) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）向东的方向为正方向，那么向东走用正数表示，向西走用负数表示，据此求解即可； （2）求出总路程，再乘以每千米的油耗即可得到答案． 【详解】（1）解：∵李老师先向东行到达陈家峪，再向西行，回到家中，且向东的方向为正方向， ∴第一次所行的路程为，第二次所行的路程为； （2）解： ， 答：这天汽车共耗油． 19．我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1)； (2)1； (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为： （2）解：若a、b互为倒数，则 （3）解：的倒数为： ∴ 20．规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 【答案】(1)① ② (2)2 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式计算即可． （1）①根据题意列式计算即可；②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置，根据除法的意义即可得到答案； （2）根据除法的意义得到除数，根据题中规定的运算列式即可得到答案． 【详解】（1）解：①原式． ． ②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置， 所以它们的结果互为倒数． 由①中算式的值为，可得②中算式的值为． （2）因为被除数，商． 所以除数； 所以，所以， 所以． 21．阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 22．认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用和来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：    解决问题 任务1 （1）将下列进制数转化为十进制数： ①_______；②_______；③_______． （2）现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2 （1）十进制数21转二进制数得_______；十进制数120转五进制数得_______． （2）如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得_______； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得______． 【答案】任务1：（1）①13；②260；③6974；（2）；任务2：（1）；；（2）45； 【分析】本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，理解不同进位制的数之间的转换是解题关键． 任务1：（1）参照素材1进行转换即可；（2）将三进制数和二进制数都转化为十进制数，即可比较a，b的大小； 任务2：（1）分别利用除二取余法和除五取余法列式计算，逆序取余即可得到答案；（2）第一步参照素材1计算即可得到答案，第二步用除十六取余法列式计算即可得到答案． 【详解】解：任务1： （1）①； ②； ③； 故答案为：13；260；6974； （2）， ， ∵， ∴． 任务2： （1）21除以2的商为10，余数为1， 10除以2的商为5，余数为0， 5除以2的商为2，余数为1， 2除以2的商为1，余数为0， 1除以2的商为0，余数为1， 逆序排列余数为， ∴十进制数21转二进制数得； 120除以5的商为24，余数为0， 24除以5的商为4，余数为4， 4除以5的商为0，余数为4， 逆序排列余数为， ∴十进制数120转五进制数得； 故答案为：；； （2）， 45除以16的商为2，余数为13， 2除以16的商为0，余数为2， 逆序排列余数为， ∴十进制数45转十六进制数得； ∴第一步：先将二进制数转为十进制数得45； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得． 故答案为：45；． 23．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$